Perché una miscela di due variabili normalmente distribuite è bimodale solo se i loro mezzi differiscono di almeno due volte la deviazione standard comune?

28

Sotto miscela di due distribuzioni normali:

https://en.wikipedia.org/wiki/Multimodal_distribution#Mixture_of_two_normal_distributions

"Una miscela di due distribuzioni normali ha cinque parametri da stimare: i due mezzi, le due varianze e il parametro di miscelazione. Una miscela di due distribuzioni normali con deviazioni standard uguali è bimodale solo se i loro mezzi differiscono di almeno il doppio della deviazione standard comune ".

Sto cercando una derivazione o una spiegazione intuitiva sul perché questo è vero. Credo che potrebbe essere in grado di essere spiegato sotto forma di un test t di due campioni:

\frac{μ_{1} - μ_{2}}{σ_{p}}

$\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma_p}$

dove $\sigma_p$ è la deviazione standard aggregata.

bimodal

— M Waz
fonte

1

l'intuizione è che, se i mezzi sono troppo vicini, allora ci sarà troppa sovrapposizione nella massa delle 2 densità, quindi la differenza nei mezzi non sarà vista perché la differenza verrà semplicemente intrappolata con la massa dei due densità. Se i due mezzi sono abbastanza diversi, le masse delle due densità non si sovrapporranno molto e la differenza nei mezzi sarà percepibile. Ma mi piacerebbe vedere una prova matematica di questo. È un'affermazione inquietante. Non l'ho mai visto prima.

— mlofton

2

Più formalmente, per una miscela 50:50 di due distribuzioni normali con la stessa SD

se si scrive la densità

in forma completa che mostra i parametri, si vedrà che la sua seconda derivata cambia segno nel punto medio tra i due mezzi quando la distanza tra i mezzi aumenta da sotto

a sopra.

σ,

$\sigma,$

f (x) = 0.5 g_{1} (x) + 0.5 g_{2} (x)

$f(x) = 0.5g_1(x) + 0.5g_2(x)$

2 σ

$2\sigma$

— BruceET

1

Vedi "Rayleigh Criterion", en.wikipedia.org/wiki/Angular_resolution#Explanation

— Carl Witthoft

53

Questa figura dall'articolo collegato in quell'articolo wiki fornisce una bella illustrazione:

La prova che forniscono si basa sul fatto che le distribuzioni normali sono concava all'interno di una SD della loro media (la SD è il punto di flesso del pdf normale, dove va da concava a convessa). Pertanto, se si sommano due PDF normali insieme (in proporzioni uguali), purché i loro mezzi differiscano di meno di due SD, la somma-pdf (cioè la miscela) sarà concava nella regione tra i due mezzi, e quindi il massimo globale deve essere esattamente nel punto tra i due mezzi.

Riferimento: Schilling, MF, Watkins, AE e Watkins, W. (2002). L'altezza umana è bimodale? The American Statistician, 56 (3), 223–229. DOI: 10,1198 / 00.031.300,265 mila

— Ruben van Bergen
fonte

11

+1 Questa è una discussione piacevole e memorabile.

— whuber

2

La didascalia della figura fornisce anche una bella illustrazione della legatura "fl" indebita in "inflessione" :-P

— nekomatic

2

@Axeman: Grazie per aver aggiunto quel riferimento - dal momento che questo è esploso un po 'avevo programmato di aggiungerlo da solo, dal momento che sto davvero solo ripetendo la loro discussione e non voglio prendermi troppo il merito.

— Ruben van Bergen

14

Questo è un caso in cui le immagini possono ingannare, perché questo risultato è una caratteristica speciale delle miscele normali : un analogo non vale necessariamente per altre miscele, anche quando i componenti sono distribuzioni simmetriche unimodali! Ad esempio, una miscela uguale di due distribuzioni di Student t separate da un po 'meno del doppio della loro deviazione standard comune sarà bimodale. Per una vera comprensione, quindi, dobbiamo fare un po 'di matematica o fare appello a proprietà speciali delle distribuzioni normali.

$\pm\mu,$ $\mu\ge 0,$ $p,$ $0 \lt p \lt 1,$

\sqrt{2 π} f (x; μ, p) = p \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2}) + (1 - p) \exp (- \frac{(x + μ)^{2}}{2}) .

$\sqrt{2\pi}f(x;\mu,p) = p \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2}\right) + (1-p) \exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2}\right).$

$x\lt -\mu$ $x\gt \mu,$ $-\mu\le x \le \mu.$ $f$ $x$

0 = - e^{2 x μ} p (x - μ) + (1 - p) (x + μ) .

$0 = -e^{2x\mu} p(x-\mu) + (1-p)(x+\mu).$

$f$ $e^{2x\mu}$

f^{''} (x; μ, p) \propto \frac{(1 + x^{2} - μ^{2})}{x - μ} .

$f^{\prime\prime}(x;\mu,p) \propto \frac{(1+x^2-\mu^2)}{x-\mu}.$

$-\mu\lt x \lt \mu,$ $f^{\prime\prime}$ $-(1-\mu^2 + x^2).$ $\mu\le 1,$ $\mu$ $1$

$2\mu,$

Una miscela di distribuzioni normali non è modale ogni volta che i mezzi sono separati da non più del doppio della deviazione standard comune.

Ciò è logicamente equivalente all'affermazione nella domanda.

— whuber
fonte

12

Commento dall'alto incollato qui per continuità:

f (x) = 0.5 g_{1} (x) + 0.5 g_{2} (x)

$f(x)=0.5g_1(x)+0.5g_2(x)$

Commento continuato:

$\sigma=1.$ $3\sigma, 2\sigma,$ $\sigma,$

Codice R per la figura:

par(mfrow=c(1,3))
  curve(dnorm(x, 0, 1)+dnorm(x,3,1), -3, 7, col="green3", 
    lwd=2,n=1001, ylab="PDF", main="3 SD: Dip")
  curve(dnorm(x, .5, 1)+dnorm(x,2.5,1), -4, 7, col="orange", 
    lwd=2, n=1001,ylab="PDF", main="2 SD: Flat")
  curve(dnorm(x, 1, 1)+dnorm(x,2,1), -4, 7, col="violet", 
    lwd=2, n=1001, ylab="PDF", main="1 SD: Peak")
par(mfrow=c(1,3))

— BruceET
fonte

1

tutte le risposte sono state fantastiche. Grazie.

— mlofton

3

2 / 3

$2/3$

0.001.

$0.001.$

1

0.1 %

$0.1\%$

f

$f$

x_{0})

$x_0)$

f (x_{0}) - f (x) \leq 0.001 f (x_{0}) ⟺ | x - x_{0} | \leq 0.333433,

$f(x_0)-f(x)\le 0.001 f(x_0)\ \iff\ |x-x_0|\le 0.333433,$

0.001

$0.001$

0.95832

$0.95832$

f (x_{0}) - f (x) \leq 0.001 ⟺ | x - x_{0} | \leq 0.47916.

$f(x_0)-f(x)\le 0.001\ \iff\ |x-x_0|\le 0.47916.$

Punti buoni. In realtà, ciò che intendevo per linguaggio abbreviato "piatto" era zero 2a derivata esattamente nel punto medio.

— BruceET,