Correlazioni ottenibili per variabili casuali lognormali

Considerare le variabili casuali lognormali $X_1$ e $X_2$ con $\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$ e $\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ .

ρ min ρ ( X 1 , X 2$\rho_{\max}$$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ e $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

ma hanno fatto alcuni riferimenti alla comonotonicità e alla controcomonotonicità. Speravo che qualcuno mi aiutasse a capire come sono rilevanti. (So ​​come ottenerlo dall'espressione generale, ma voglio sapere specificamente cosa dicevano le parti di comonotonicità.)

Inizierò fornendo la definizione di comonotonicity e countermonotonicity . Quindi, menzionerò perché questo è rilevante per calcolare il coefficiente di correlazione minimo e massimo possibile tra due variabili casuali. E infine, calcolerò questi limiti per le variabili casuali lognormali e .X $X_1$$X_2$

Comonotonicità e Si dice che
le variabili casuali sono comonotoniche se la loro copula è il limite superiore di Fréchet , che è il più forte tipo di dipendenza "positiva". Si può dimostrare che sono comonotonici se e solo se dove è una variabile casuale, sono funzioni crescenti e $X_1, \ldots, X_d$ X 1 , … , X d ( X 1 , … , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , … , h d ( Z ) ) , Z h 1 , … $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ $Z$d$h_1, \ldots, h_d$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$denota l'uguaglianza nella distribuzione. Quindi, le variabili casuali comonotoniche sono solo funzioni di una singola variabile casuale.

Le variabili aleatorie sono detti countermonotonic se la loro copula rappresenta l' Fréchet limite inferiore , che è il tipo più forte di dipendenza "negativo" nel caso bivariato. La contromonotonocità non si generalizza a dimensioni superiori. Si può dimostrare che sono contrmonotonici se e solo se dove è una variabile casuale, e e sono rispettivamente una funzione crescente e una diminuzione, o viceversa.$X_1, X_2$ X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

Correlazione ottenibile
Sia e due variabili casuali con varianze rigorosamente positive e finite, e lascia che e denotino il coefficiente di correlazione minimo e massimo possibile tra e . Quindi, si può dimostrare cheX 2 ρ min ρ max X 1 X $X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ se e solo se e sono contronotonici;X $X_1$$X_2$
• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ se e solo se e sono comonotonici.X $X_1$$X_2$

Correlazione
ottenibile per variabili casuali lognormali Per ottenere utilizziamo il fatto che si ottiene la massima correlazione se e solo se e sono comonotonici. Le variabili casuali e dove sono comonotoniche poiché la funzione esponenziale è una funzione (strettamente) crescente, e quindi .$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

Usando le proprietà delle variabili casuali lognormali , abbiamo , , , e la covarianza è Pertanto, ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

simili con yield $X_2 = e^{-\sigma Z}$

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Commento
Questo esempio mostra che è possibile avere una coppia di variabili casuali che sono fortemente dipendenti - la comonotonicità e la contromanotonicità sono il tipo più forte di dipendenza - ma che hanno una correlazione molto bassa. La seguente tabella mostra questi limiti in funzione di .$\sigma$

Questo è il codice R che ho usato per produrre il grafico sopra.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)