Stimatore discreto dell'esponenziale di misura di un insieme?

Supponiamo di avere un set (misurabile e ben educato) $S\subseteq B\subset\mathbb R^n$ , dove $B$ è compatto. Inoltre, supponiamo di poter prelevare campioni dalla distribuzione uniforme su $B$ rispetto alla misura di Lebesgue $\lambda(\cdot)$ e di conoscere la misura $\lambda(B)$ . Per esempio, forse $B$ è una scatola $[-c,c]^n$ contenente $S$ .

Per $\alpha\in\mathbb R$ fisso , esiste un modo semplice e imparziale per stimare $e^{-\alpha \lambda(S)}$ campionando uniformemente i punti in $B$ e verificando se si trovano all'interno o all'esterno di $S$ ?

Come esempio di qualcosa che non funziona, supponiamo di campionare $k$ punti $p_1,\ldots,p_k\sim\textrm{Uniform}(B)$ . Poi possiamo usare la stima Monte Carlo

$$\lambda(S)\approx \hat\lambda:= \frac{\#\{p_i\in S\}}{k}\lambda(B).$$ Ma, mentre λ è uno stimatore diλ(S), non credo che sia il caso chedi e-alfa λ è uno stimatore die-alfaλ(S). C'è un modo per modificare questo algoritmo?$\hat\lambda$$\lambda(S)$$e^{-\alpha\hat\lambda}$$e^{-\alpha\lambda(S)}$

Supponiamo di avere a disposizione le seguenti risorse:

1. $\hat{\lambda}$
2. $\hat{\lambda}$$\lambda ( S )$
3. $\hat{\lambda}$$C$
4. $C$
5. $\hat{\lambda}$

$u > 0$$\exp x$

$$\begin{align} e^{-\alpha \lambda ( S ) } &= e^{-\alpha C} \cdot e^{\alpha \left( C - \lambda ( S ) \right)} \\ &= e^{- \alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{- \alpha C} \cdot e^u \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ e^{-u} \cdot \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \end{align}$$

Ora, procedi come segue:

1. Esempio di .$K \sim \text{Poisson} ( u )$
2. Forma come stimatori imparziali di .$\hat{\lambda}_1, \cdots, \hat{\lambda}_K$$\lambda(S)$
3. Restituisce lo stimatore

$$\hat{\Lambda} = e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \cdot \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\}.$$

$\hat{\Lambda}$ è quindi uno stimatore non negativo e imparziale di . Questo è perché$\lambda(S)$

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \mathbf{E} \left[ \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\} | K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \mathbf{E} \left[ C - \hat{\lambda}_i \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \left[ C - \lambda ( S ) \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \end{align}$$

e quindi

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} \right] &= \mathbf{E}_K \left[ \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] \right] \\ &= \mathbf{E}_K \left[ e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \mathbf{P} ( K = k ) \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \\ &= e^{-\alpha \lambda ( S ) } \end{align}$$

dal calcolo precedente.

La risposta è negativa.

Una statistica sufficiente per un campione uniforme è il conteggio dei punti osservati in Questo conteggio ha una distribuzione binomiale . Scrivi e$X$$S.$$(n,\lambda(S)/\lambda(B))$$p=\lambda(S)/\lambda(B)$$\alpha^\prime = \alpha\lambda(B).$

Per una dimensione del campione di sia qualsiasi stimatore (non randomizzato) di L'attesa è$n,$$t_n$$\exp(-\alpha \lambda(S)) = \exp(-(\alpha\lambda(B)) p) = \exp(-\alpha^\prime p).$

$$E[t_n(X)] = \sum_{x=0}^n \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}\, t_n(x),$$

che equivale a un polinomio di grado al massimo in Ma se l'esponenziale non può essere espresso come polinomio in (Una prova: prendere derivati. Il risultato per l'attesa sarà zero ma la derivata dell'esponenziale, che è esso stesso un esponenziale in non può essere zero.)$n$$p.$$\alpha^\prime p \ne 0,$$\exp(-\alpha^\prime p)$$p.$$n+1$$p,$

La dimostrazione per gli stimatori randomizzati è quasi la stessa: prendendo le aspettative, otteniamo di nuovo un polinomio in$p.$

Di conseguenza, non esiste uno stimatore imparziale.