La deviazione assoluta media è inferiore alla deviazione standard per

Voglio confrontare la deviazione assoluta media con la deviazione standard nel caso generale con questa definizione:

M UN D = \frac{1}{n - 1} Σ_{1}^{n} | X_{io} - μ |, S D = \sqrt{\frac{Σ_{1}^{n} (X_{io} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

dove $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$ .

È vero che $MAD \le SD$ per ogni $\{x_i\}^n_1$ ?

È falso per $n=2$ , perché $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ , per ogni $x, y \ge 0$ .

È facile dimostrare che:

M UN D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— Lisbeth
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Risposte:

No, in generale questo non è vero.

Un modo semplice per vedere questo è simulare. In genere, eseguo un hack insieme un ciclo infinito che si interrompe se trova un controesempio. Se dura a lungo, inizio a pensare se l'affermazione potrebbe essere vera. Nel caso presente, il mio codice R è simile al seguente:

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

Produce questo controesempio:

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— Stephan Kolassa
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È un modo intelligente di usare la simulazione! Mi ha salvato dal rispondere erroneamente che il risultato vale sempre per la disuguaglianza di Jensen ... che apparentemente non è applicabile quando dividi per

invece di

n - 1

$n-1$

n

$n$

— CloseToC

Comunque penso che forse una risposta che paragona

alla deviazione media con

denominatore sarebbe, penso, utile, perché darebbe contesto al controesempio.

s_{n}

$s_n$

n

$n$

— Glen_b -Restate Monica,

Ecco un approccio più matematico. In primo luogo, è probabilmente vero che, con un cambiamento di variabili, si può presumere che la media sia zero. Certamente dal punto di vista della ricerca di un contro esempio, questo è accettabile. Quindi, impostando $\mu = 0$ , quadrando entrambi i lati della disuguaglianza proposta e moltiplicando per (n-1) si rimane con la disuguaglianza proposta -

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

Sembra strano. (n-1) non è abbastanza per compensare tutte le $|x_i| |x_j|$ termini. In particolare se tutte le $x_i$ sono uguali in valore assoluto. La mia prima ipotesi è stata n = 4 e $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ . Questo porta a $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$ . Penserei che questo genere di cose sia ben noto alle persone interessate alle disuguaglianze.

— meh
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Per tutti i

puoi usare la tua costruzione (ogni

) e

n

$n$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$

quindi non può essere vero che

per tutti

M UN D = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$

x_{i}

$x_i$

— Sesto Empirico

Per tutti dispari

è possibile utilizzare la mia costruzione (

e quindi ogni altro

con alternanza di più meno). Quindi hai

n

$n$

x_{0} = - 2

$x_0=-2$

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$

dove la disuguaglianza può essere chiarita moltiplicando per

e quadrando in modo tale che diventi

M UN D = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$

n - 1

$n-1$

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

— Sesto Empirico

Ma non è vero che

per tutte le possibili

. I termini

(ce ne sono

) può essere compensato dal termine

quando un numero sufficiente di

è piccolo.

M A D > S D

$MAD > SD$

x_{i}

$x_i$

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$

n^{2}

$n^2$

(n - 1)

$(n-1)$

x_{i}

$x_i$

— Sesto Empirico

@Martijn Tutto quello che stavo dicendo era che fare una piccola algebra indicava la strada per trovare contro-esempi. Non penso assolutamente, e non credo nemmeno di aver dato l'impressione che pensavo, che la disuguaglianza fosse sempre falsa o vera.

— Meh,

Il commento "(n-1) non è abbastanza per compensare ..." mi è sembrato un po 'difficile. In alcuni casi può essere sufficiente.

— Sesto Empirico