Ci sono 99 percentili o 100 percentili? E sono gruppi di numeri, o divisori o puntatori a singoli numeri?

Ci sono 99 percentili o 100 percentili? E sono gruppi di numeri o linee di divisione o puntatori a singoli numeri?

Suppongo che la stessa domanda si applicherebbe per i quartili o qualsiasi quantile.

Ho letto che l'indice di un numero in un particolare percentile (p), dato n elementi, è i = (p / 100) * n

Questo mi suggerisce che ci sono 100 percentili .. perché supponendo che tu abbia 100 numeri (da i = 1 a i = 100), allora ognuno avrebbe un indice (da 1 a 100).

Se avessi 200 numeri, ci sarebbero 100 percentili, ma ognuno farebbe riferimento a un gruppo di due numeri. O 100 divisori escludendo il divisore all'estrema sinistra o all'estrema destra, altrimenti otterresti 101 divisori. O puntatori a singoli numeri in modo che il primo percentile si riferisse al secondo numero, (1/100) * 200 = 2 E il centesimo percentile si riferisse al 200 ° numero (100/100) * 200 = 200

A volte ho sentito parlare di 99 percentili però ...

Google mostra il dizionario di Oxford che dice percentile- "ciascuno dei 100 gruppi uguali in cui una popolazione può essere divisa in base alla distribuzione dei valori di una particolare variabile". e "ciascuno dei 99 valori intermedi di una variabile casuale che divide una distribuzione di frequenza in 100 di tali gruppi".

Wikipedia afferma che "il 20 ° percentile è il valore al di sotto del quale si può trovare il 20% delle osservazioni" Ma in realtà significa "il valore al di sotto o uguale al quale, il 20% delle osservazioni può essere trovato" cioè "il valore per il quale 20 % dei valori sono <= ad esso ". Se fosse solo <e non <=, allora Con questo ragionamento, il 100o percentile sarebbe il valore al di sotto del quale si può trovare il 100% dei valori. Ho sentito che come argomento non può esserci un centesimo percentile, perché non è possibile avere un numero in cui vi sia il 100% dei numeri sottostanti. Ma penso che forse l'argomento secondo cui non è possibile avere un centesimo percentile sia errato e si basi su un errore che implica la definizione di un percentile <= non <. (o> = non>). Quindi il centesimo percentile sarebbe il numero finale e sarebbe>

Entrambi questi sensi di percentile , quartile e così via sono ampiamente utilizzati. È più semplice illustrare la differenza con i quartili:

1. il senso del "divisore" - ci sono 3 quartili, che sono i valori che dividono la distribuzione (o campione) in 4 parti uguali:

      1   2   3
   ---|---|---|---
   

   (A volte questo viene usato con i valori massimo e minimo inclusi, quindi ci sono 5 quartili numerati da 0 a 4; nota che questo non è in conflitto con la numerazione sopra, ma semplicemente la estende.)

2. il senso "bin": ci sono 4 quartili, i sottoinsiemi in cui quei 3 valori dividono la distribuzione (o campione)

    1   2   3   4
   ---|---|---|---
   

Nessuno dei due usi può ragionevolmente essere definito "sbagliato": entrambi sono utilizzati da molti professionisti esperti ed entrambi compaiono in molte fonti autorevoli (libri di testo, dizionari tecnici e simili).

Con i quartili, il senso utilizzato è generalmente chiaro dal contesto: parlare di un valore nel terzo quartile può essere solo il senso "bin", mentre parlare di tutti i valori al di sotto del terzo quartile significa molto probabilmente il senso "divisore". Con i percentili, la distinzione è più spesso poco chiara, ma non è nemmeno così significativa per la maggior parte degli scopi, poiché l'1% di una distribuzione è così piccola - una striscia stretta è approssimativamente una linea. Parlare di chiunque al di sopra dell'80 ° percentile potrebbe significare il 20% superiore o il 19% superiore, ma in un contesto informale che non è una grande differenza, e in un lavoro rigoroso, il significato necessario dovrebbe essere presumibilmente chiarito dal resto del contesto.

(Parti di questa risposta sono adattate da /math/1419609/are-there-3-or-4-quartiles-99-or-100-percentiles , che fornisce anche citazioni + riferimenti.)

Prendi questa risposta con un granello di sale: è iniziata abbastanza male e sto ancora decidendo cosa farne.

La domanda riguarda in parte il linguaggio e l'uso, mentre questa risposta si concentra sulla matematica. Spero che la matematica fornisca un quadro per comprendere diversi usi.

Un buon modo per trattare questo è iniziare con la matematica semplice e tornare indietro al caso più complicato di dati reali. Cominciamo con PDF, CDF e CDF inversi (noti anche come funzioni quantili). Il $x$ esimo quantile di una distribuzione con pdf $f$ e cdf $F$ è $F^{-1}(x)$ . Supponiamo che il percentile $z$ sia $F^{-1}(z/100)$ . Questo fornisce un modo per individuare l'ambiguità che identifichi: possiamo esaminare le situazioni in cui $F$ è 1) non invertibile, 2) invertibile solo su un determinato dominio o 3) invertibile ma il suo inverso non raggiunge mai determinati valori.

Esempio di 1): Lascio questo per ultimo; continua a leggere.

Esempio di 2): per una distribuzione uniforme di 0,1, il CDF è invertibile quando limitato a [0, 1], quindi il 100 ° e il 0 ° percentile potrebbero essere definiti come $F^{-1}(1)$ e $F^{-1}(0)$ dato quell'avvertimento. Altrimenti, sono mal definiti poiché $F(-0.5)$ (ad esempio) è anche 0.

Un altro esempio di 2): per una distribuzione uniforme sui due intervalli disgiunti da 0 a 1 e da 2 a 3, il CDF appare così.

La maggior parte dei quantili di questa distribuzione esistono e sono unici, ma la mediana (50 ° percentile) è intrinsecamente ambigua. In R, vanno a metà: quantile(c(runif(100), runif(100) + 2), 0.5)restituiscono circa 1,5.

Esempio di 3): per una distribuzione normale, il 100o e il 0o percentile non esistono (o "sono" $\pm \infty$ ). Questo perché il normale CDF non raggiunge mai 0 o 1.

Discussione su 1): per i "bei" cdf, come con quantili non estremi o distribuzioni continue, i percentili esistono e sono unici. Ma per una distribuzione discreta come la distribuzione di Poisson, la mia definizione è ambigua perché per la maggior parte di $z/100$ , non c'è $y$ con $F(y) = z/100$ . Per una distribuzione di Poisson con aspettativa 1, il CDF è simile al seguente.

Per il 60o percentile, R restituisce 1 ( quantile(c(rpois(lambda = 1, n = 1000) ), 0.60)). Per il 65 ° percentile, anche R restituisce 1. Puoi pensare a questo come a disegnare 100 osservazioni, classificandole da basse a alte e restituendo il 60 ° o il 65 ° elemento. Se lo fai, otterrai molto spesso 1.

Quando si tratta di dati reali, tutte le distribuzioni sono discrete. (Il CDF empirico di runif(100)o np.random.random(100)ha 100 incrementi raggruppati attorno a 0,5). Ma, piuttosto che trattarli come discreti, la quantilefunzione di R sembra trattarli come campioni da distribuzioni continue. Ad esempio, la mediana (il 50o percentile o 0,5 quantile) del campione 3,4, 5, 6, 7, 8 viene data come 5,5. Se disegni 2n campioni da una distribuzione unif (3,8) e prendi un numero qualsiasi tra l'ennesimo e (n + 1) esimo campione, convergerai su 5.5 all'aumentare di n.

È interessante considerare anche la distribuzione uniforme e discreta con uguale probabilità di colpire 3,4,5,6,7,8. (Un tiro di dado più due). Se prendi l'approccio di campionamento e classificazione sopra indicato per la distribuzione di Poisson, di solito otterrai 5 o 6. Man mano che i campioni diventano più grandi, la distribuzione per il numero a metà in su converge a metà cinque e mezzo sei. 5.5 sembra un ragionevole compromesso anche qui.

Mi è stato insegnato che un'osservazione nell'ennesimo percentile era maggiore dell'n% delle osservazioni nel set di dati in esame. Il che per me implica che non esiste un 0 o un 100o percentile. Nessuna osservazione può essere superiore al 100% delle osservazioni perché fa parte di quel 100% (e una logica simile si applica nel caso di 0).

Modifica: per quello che vale, questo è anche coerente con l'uso non accademico del termine che ho incontrato: "X è nell'ennesimo percentile " implica che il percentile è il gruppo, non un confine.

Sfortunatamente non ho una fonte per questo che posso indicarti.

Esistono altri modi per calcolare i percentili, ciò che segue non è l'unico. Tratto da questa fonte .

$p$ $p$$p\%$$28$$80$$80$$28$

$x_1$$x_n$

$n$$x_i$$p_i$

$p_i = \dfrac{100(i - 0.5)}{n}$

Esempio dalle stesse note per l'illustrazione:

$7$$50$$7$

Se avessi 200 numeri, ci sarebbero 100 percentili, ma ognuno farebbe riferimento a un gruppo di due numeri.

No.

$x_1$$x_\mathrm{200}$

$\dfrac{100(1-0.5)}{200}$$\dfrac{100(2-0.5)}{200}$$\dfrac{100(3-0.5)}{200}$$...$

con il risultato di

$0.25, 0.75, 1.25 ...$$1, 2, 3, ...$

Nota: accetterò la risposta di qualcun altro piuttosto che la mia. Ma vedo alcuni commenti utili, quindi sto solo scrivendo una risposta che menziona quelli.

Basato sulla risposta "-iles" di Nick per la metà superiore

sembra che i termini siano ambigui e suppongo (sulla base della mia comprensione di quel post), una terminologia migliore sarebbe X% punto e gruppo X% -Y%; così punto quantile (quindi per punti quartili che potrebbero essere qualsiasi cosa da 0 a 4); gruppo quantile che va dal punto quantico X al punto quantico Y.

In entrambi i casi si otterrebbero 101 per percentili, anche se un commento suggerisce che si potrebbero fare riferimento a 101 punti (suppongo che se si contano punti percentili e solo numeri interi), ma anche in questo caso, se si parla di 1o, 2o, 3o, percentile o quantile, sta contando e non si può contare il primo come 0 e non è possibile avere ad esempio più di 4 quartili o più di 100 percentili. Quindi, se si parla di 1 °, 2 °, 3 °, quella terminologia non può davvero riferirsi al punto 0. Se qualcuno ha detto 0 ° punto, allora mentre è chiaro intendono il punto 0, penso che dovrebbero davvero dire punto quantile 0. O gruppo quantile al punto 0. Anche gli informatici non direbbero nono; anche loro contano il primo elemento come 1, e se lo chiamano elemento 0, questo è un indice da 0, non un conteggio.

Un commento menziona "Non possono essere 100. Né 99 o 101, a seconda che tu contenga il massimo e il minimo". Penso che ci sia un caso per 99 o 101, quando si parla di punti quantili piuttosto che di gruppi, anche se non direi 0 °. Per n articoli, un indice può andare da 0 ... n-1 e uno non scriverebbe la / es. 1 °, 2 ° ecc., Su un indice (a meno che forse l'indice non abbia indicizzato il primo elemento come 1). Ma un indice che inizia il primo elemento con indice 0 non è un 1o, 2o 3o conteggio. ad es. l'articolo con indice 0 è il 1 ° articolo, non si direbbe 0 ° ed etichettare il 2 ° elemento secondo.