Qual è la più grande di un gruppo di variabili casuali normalmente distribuite?

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Ho variabili casuali $X_0,X_1,\dots,X_n$ . ha una distribuzione normale con media e varianza . I camper sono normalmente distribuiti con media e varianza . Tutto è reciprocamente indipendente. $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

Sia indicare l'evento in cui è il più grande di questi, ovvero . Voglio calcolare o stimare . Sto cercando un'espressione per , in funzione di , o una stima ragionevole o approssimazione per . $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

Nella mia applicazione, è fisso ( ) e voglio trovare il valore più piccolo per che rende , ma sono anche curioso della domanda generale. $n$ $n=61$ $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$

probability normal-distribution

— DW
fonte

Quanto è grande

? Dovrebbero esserci delle buone espressioni asintotiche basate sulla teoria dei grandi campioni.

n

$n$

— whuber

@whuber, grazie! Ho modificato la domanda: nel mio caso

. Anche se

non è abbastanza grande da essere considerato grande, se ci sono buone stime asintotiche nel caso in cui

sia grande, sarebbe interessante.

n = 61

$n=61$

n = 61

$n=61$

n

$n$

— DW,

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Utilizzando l'integrazione numerica,

.

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

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Il calcolo di tali probabilità è stato ampiamente studiato dagli ingegneri delle comunicazioni sotto il nome di segnalazione ortogonale -ary in $M$ cui il modello prevede che uno dei segnali ortogonali uguale energia uguale sia trasmesso e che il ricevitore tenti di decidere quale è stato trasmesso esaminando uscite di filtri abbinate ai segnali. Condizionate sull'identità del segnale trasmesso, le uscite campione dei filtri corrispondenti sono (casualmente) variabili casuali normali di varianza unitaria indipendenti. L'uscita campione del filtro abbinata al segnale trasmesso è una $M$ $M$ $N(\mu,1)$ variabile casuale mentre le uscite di tutti gli altri filtri sono variabili casuali. $N(0,1)$

La probabilità condizionale di una decisione corretta (che nel presente contesto è l'evento ) condizionata su è $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$ doveè la distribuzione di probabilità cumulativa di una variabile casuale normale standard, e quindi la probabilità incondizionata è

P (C | X_{0} = α) = Π_{io = 1}^{n} P {X_{io} < α | X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

dove

è la funzione di densità normale standard. Non esiste un'espressione a forma chiusa per il valore di questo integrale che deve essere valutata numericamente. Gli ingegneri sono anche interessati all'evento complementare - che la decisione è in errore - ma non amano calcolarlo come

perché questo richiede una valutazione molto attenta dell'integrale per

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C | X_{0} = α) φ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} φ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$ con una precisione di molte cifre significative e tale valutazione è sia difficile che richiede tempo. Invece, l'integrale per

può essere integrato da parti per ottenere

1 - P (C)

$1-P(C)$

Questo integrale è più facile da valutare numericamente e il suo valore in funzione di

è rappresentato graficamente e tabulato (sebbene purtroppo solo per

) nel Capitolo 5 diIngegneria dei sistemiditelecomunicazionedi Lindsey e Simon, Prentice-Hall 1973, Dover Press 1991 In alternativa, gli ingegneri usano ilsindacatoo la disuguaglianza di Bonferroni

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

dove

è la funzione di distribuzione normale cumulativa complementare.

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{io} X_{io}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq Σ_{io = 1}^{n} P {X_{0} < X_{io}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

Dal limite dell'unione, vediamo che il valore desiderato per è limitato sopra di $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

$M$

— Dilip Sarwate
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Una risposta formale:

$N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

$X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Potrebbe essere necessario esaminare varie approssimazioni al fine di gestirle in modo trattabile per l'applicazione specifica.

— Dave
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\int_{y}^{\infty} p (X_{0}) d X_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$