Rilassamento lagrangiano nel contesto della regressione della cresta

In "The Elements of Statistical Learning" (2a edizione), p63, gli autori forniscono le seguenti due formulazioni del problema di regressione della cresta:

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \left\{ \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 + \lambda \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \right\}$$

e

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 \text{, subject to } \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \leq t.$$

Si afferma che i due sono equivalenti e che esiste una corrispondenza uno a uno tra i parametri et t .$\lambda$$t$

Sembrerebbe che la prima formulazione sia un rilassamento lagrangiano della seconda. Tuttavia, non ho mai avuto una comprensione intuitiva di come o perché i rilassamenti lagrangiani funzionano.

Esiste un modo semplice per dimostrare che le due formulazioni sono effettivamente equivalenti? Se dovessi scegliere, preferirei l'intuizione al rigore.

Grazie.

La corrispondenza può essere mostrata più facilmente usando il Teorema della busta .

$\lambda \cdot t$$\lambda$

$t$$t$$\beta$$\lambda \cdot t$

$t$

Presumo che questa sia la corrispondenza Hastie et al. si riferiscono a.