Il teorema del limite centrale multivariato (CLT) vale quando le variabili mostrano una perfetta dipendenza contemporanea?

Il titolo riassume la mia domanda, ma per chiarezza si consideri il seguente semplice esempio. Let $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ , $i = 1, ..., n$ . Definisci:

S_{n} = \frac{1}{n} Σ_{io = 1}^{n} X_{io}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$ e

T_{n} = \frac{1}{n} Σ_{io = 1}^{n} (X_{io}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$ mia domanda:anche se

S_{n}

$S_n$ e

T_{n}

$T_n$ sono perfettamente dipendenti quando

n = 1

$n = 1$ , fai

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$ e

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$ converge in una distribuzione normale unita come

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$ ?

La motivazione: la mia motivazione per la domanda deriva dal fatto che sembra strano (ma meraviglioso) che $S_n$ e $T_n$ siano perfettamente dipendenti quando $n = 1$ , tuttavia l'implicazione del CLT multivariato è che si avvicinano all'indipendenza come $n \rightarrow \infty$ (questo seguirebbe poiché $S_n$ e $T_n$ non sono correlati per tutti $n$ , quindi se sono asintoticamente normali normali, allora devono anche essere asintoticamente indipendenti).

Grazie in anticipo per eventuali risposte o commenti!

ps, se è possibile fornire riferimenti ecc. allora tanto meglio!

— Bowers Colin T.
fonte

Nessuna risposta, ma un commento. Non lo trovo molto sorprendente. La dipendenza che noti per n = 1 diminuisce rapidamente man mano che n aumenta.

— Erik,

@egbutter ha fornito un'ottima risposta. Se stai ancora cercando un'alternativa o un'intuizione aggiuntiva, eseguimi un ping e vedrò di scrivere qualcosa di leggermente diverso.

— cardinale il

@cardinal Grazie mille per l'offerta, ma sono abbastanza felice a questo punto - ho assegnato la grazia a egbutter. Penso di avere l'intuizione. Il mio scopo principale nel postare era vedere se qualcuno è saltato dentro e ha detto "No no no, hai sbagliato tutto a causa di ..." :-) Saluti.

— Colin T Bowers,

Risposte:

La risposta breve, a quanto ho capito, è "sì, ma ..." i tassi di convergenza su S, T e ogni altro momento non sono necessariamente gli stessi - controlla determinando i limiti con il teorema di Berry-Esseen .

Nel caso in cui fraintendessi il tuo q, Sn e Tn si attengono anche al CLT in condizioni di debole dipendenza (mixaggio): controlla il CLT di Wikipedia per i processi dipendenti .

Il CLT è un teorema così generale: la dimostrazione di base non richiede altro che la funzione caratteristica di Sn e Tn converge alla funzione caratteristica della normale standard, quindi il Teorema di continuità di Levy afferma che la convergenza della funzione caratteristica implica la convergenza della distribuzione.

John Cook fornisce una grande spiegazione dell'errore CLT qui .

— egbutter
fonte

Grazie per la risposta. Non sono veramente preoccupato dal tasso di convergenza per quanto riguarda questa domanda, né dal fatto che il CLT si manterrà in condizioni più generali, ad esempio la dipendenza. Quello che speravo davvero è un riferimento o un'affermazione che giustifica l'uso del CLT multivariato quando l'i componente di ogni somma mostra una perfetta dipendenza contemporanea. Successivamente ho trovato un riferimento nella "Stochastic Limit Theory" di Davidson affermando che le prese multivariate del CLT hanno dato una dipendenza arbitraria e contemporanea, ma sto ancora cercando un po 'di rigore attorno a questa affermazione.

— Colin T Bowers,

Sembra che tu ci stia pensando troppo. I tuoi in [1, n] sono i componenti "contemporanei" a cui ti riferisci? In tal caso, il punto importante è che Sn e Tn convergeranno comunque (puoi dimostrarlo a te stesso usando lo stesso metodo della prova CLT "vecchia scuola" di cui sopra) - ma per un dato i, i loro errori essere diverso. Ciò non cambia il fatto che detiene CLT. La distinzione multi / univariata non è importante.

— egbutter,

Sì, l'i sono i componenti contemporanei. Un buon suggerimento per quanto riguarda l'esecuzione dell'esempio attraverso una prova. In realtà l'ho fatto e non ho riscontrato alcun problema, il che paradossalmente mi ha reso più nervoso. Forse sto pensando troppo a questo punto :-) Grazie ancora per la risposta. Se nessun altro ha una risposta alla risposta entro la fine della giornata, segnerò la tua risposta come risposta. Saluti.

— Colin T Bowers,

Posso certamente entrare in empatia - spesso faccio la stessa cosa! :)

— egbutter,

Ciò non dimostra nulla, ovviamente, ma trovo sempre che fare simulazioni e tracciare grafici sia molto utile per dare un senso ai risultati teorici.

$n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— Hong Ooi
fonte