Limiti superiori per la densità della copula?

Il limite superiore di Fréchet-Hoeffding si applica alla funzione di distribuzione della copula ed è dato da

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Esiste un limite superiore simile (nel senso che dipende dalle densità marginali) per la densità della copula invece del CDF? $c(u_1,...,u_d)$

Qualsiasi riferimento sarebbe molto apprezzato.

— Coppola
fonte

Che tipo di limite stai cercando? Una descrizione del tuo vero problema potrebbe essere d'aiuto. Tecnicamente, la risposta è "no" in due modi diversi: (i) potrebbe non esserci una densità (!) E (b) se ci fosse, potremmo cambiarla su un set di misura zero per essere grande quanto noi ' mi piace. Sappiamo qualcosa , però. In particolare, supponiamo che esista e che sia un qualsiasi (iper) rettangolo con lunghezze laterali . Quindi, certamente

c

$c$

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— cardinale il

Dal momento che puoi facilmente costruire esempi che soddisfino questo limite, sospetto che non si possa dire molto di più. Ma non ci ho pensato attentamente.

— cardinale il

@cardinal Grazie per i tuoi commenti. In effetti, presumo che la densità esista per evitare il caso banale. Stavo cercando un limite superiore in termini di densità marginale. Sono particolarmente interessato alla copula gaussiana.

— Coppola,

Se è una copula, tutte le densità marginali sono uniformi, cioè una funzione costante. :)

— cardinale il

@cardinal Pardon il mio francese. Vorrei riformulare la mia domanda. La copula gaussiana (di cui sono particolarmente interessato) è data da . Dove e . Questo, ad esempio, non può essere limitato dal prodotto . Quindi, stavo cercando un altro limite superiore che coinvolge solo i marginali. E, naturalmente, stavo cercando di porre la domanda in un modo più generale, mettendola in relazione con i limiti di cui sopra. Mi scuso per le mie vaghe parole.

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Coppola,

In generale, no non c'è. Ad esempio, nel caso della copula gaussiana bivariata, la quantità nell'esponente ha un punto di sella a (0,0) e quindi esplode all'infinito in due direzioni. Se ti imbatti in una classe di densità di copula che sono in effetti limitate, per favore fammi sapere!

— MHankin
fonte

Potresti chiarire cosa intendi per "quantità nell'esponente"? La presenza di un "punto di sella" non sembra coerente con alcuna definizione standard di una distribuzione gaussiana.

— whuber

@whuber La densità di una copula gaussiana non è una gaussiana standard. Se guardi il commento di Coppola sopra, noterai che la densità di copula gaussiana ha un

dove ti aspetteresti solo la matrice inversa di covarianza. La matrice di covarianza inversa dovrebbe essere simmetrica positiva semi definita, ma il -I consente una non-positività definitiva, e quindi un punto di sella. La sua presenza è dovuta al cambiamento di variabili durante la conversione da

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Sì, ne sono consapevole, ma non è questo che implica la tua risposta. Questa copula è parametrizzata dalla matrice di correlazione

, ma per tale

è solo una funzione di

. In quanto tale, non "esplode mai all'infinito". Non ci sono matrici di correlazione valide

(vale a dire, non degenerate) per le quali questa copula è illimitata. Questi sono i motivi per cui chiedevo un chiarimento della tua risposta.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@whuber Ti ho appena inviato per email una versione modificabile di un approfondimento del mio esempio. Fammi sapere se pensi che sia accurato, nel qual caso lo aggiungerò alla mia risposta sopra. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin