in base al totale, qual è la distribuzione di binomi negativi

Se sono iid binomiali negativi, qual è la distribuzione di data $x_1, x_2, \ldots, x_n$ $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$ ?

$N$ è fisso.

Se sono Poisson allora, a condizione che il totale, sia multinomiale. Non sono sicuro che sia vero per il binomio negativo, dal momento che è una miscela di Poisson. $x_1, x_2, \ldots, x_n$ $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

Nel caso tu voglia saperlo, questo non è un problema di compiti a casa.

— qkhhly
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Data la connessione tra le distribuzioni Gamma e il Dirichlet, la mia prima ipotesi sarebbe che - almeno date le opportune restrizioni sui binomi negativi - potrebbe in alcuni casi essere Dirichlet-multinomiale.

— Glen_b

Cercando su Google i termini del tuo post e il mio commento produce alcuni successi che suggeriscono che questa potrebbe essere una linea fruttuosa da perseguire.

— Glen_b

Ci scusiamo per la risposta tardiva, ma anche questo mi ha infastidito e ho trovato la risposta. La distribuzione è davvero Dirichlet-Multinomial e l'individuo neg. le distribuzioni binomiali non devono nemmeno essere identiche, purché il loro fattore di Fano (rapporto tra varianza e media) sia identico.

Risposta lunga:

Se si parametrizza NB come:

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

Quindi e e $E(X) = \lambda$ $Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ implica

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

Quindi prendendo la probabilità data la somma:

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

dove è la probabilità Dirichlet-Multinomial. Ciò deriva semplicemente dal fatto che, fatta eccezione per i coefficienti multinomiali, molti dei termini nella frazione sul lato sinistro si annullano, lasciandoti solo con i termini della funzione gamma che risultano essere gli stessi della probabilità DM. $DM$

Si noti inoltre che i parametri di questo modello non sono identificabili come un aumento di con una diminuzione simultanea di tutti comporta esattamente la stessa probabilità. $\theta$ $\lambda_i$

Il miglior riferimento che ho per questo è le sezioni da 2 a 3.1 di Guimarães & Lindrooth (2007): Controllo della sovradispersione in modelli logit condizionali raggruppati: un'applicazione computazionalmente semplice della regressione multinomiale di Dirichlet - purtroppo è protetta da un muro, ma non sono stato in grado di trova un riferimento senza paywall.

— Martin Modrák
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