Confusione relativa ai sistemi dinamici lineari

Stavo leggendo questo libro Pattern Recognition and Machine Learning di Bishop. Avevo una confusione legata a una derivazione del sistema dinamico lineare. In LDS assumiamo che le variabili latenti siano continue. Se Z indica le variabili latenti e X indica le variabili osservate

$p(z_n|z_{n-1}) = N(z_n|Az_{n-1},\tau)$

$p(x_n|z_n) = N(x_n,Cz_n,\Sigma)$

$p(z_1) = N(z_1|u_0,V_0)$

In LDS anche il passaggio di messaggi alfa-indietro all'indietro viene utilizzato per calcolare la distribuzione latente posteriore, ovvero $p(z_n|X)$

$\alpha(z_n)=p(x1...xn,z_n)$

$\hat\alpha(z_n) = \alpha(z_n)/P(x1....xn)$

La mia prima domanda è nel libro che viene dato come

$\hat\alpha(z_n) = N(z_n|u_n,V_n)$

$\hat\alpha(z_n)$$N(z_n|u_n,V_n))$

$K_n$

$u_n = Au_{n-1} + K_n(x_n - CAu_{n-1})$

$V_n = I - K_nC)P_(n-1)$

$c_n = N(x_n|CAu_{n-1},CP_{n-1}C^T + \Sigma$

$K_n$$P_{n-1}C^T(CP_{n-1}C^T + \Sigma) ^ {-1}$

Come abbiamo ricavato le equazioni di cui sopra, intendo come mai

$u_n = Au_{n-1} + K_n(x_n - CAu_{n-1})$

Sono solo confuso su come viene fatta la derivazione di cui sopra.

C'è una bella derivazione, molte in realtà, nel seguente: http://amzn.com/0470173661

Questo è un buon libro sull'argomento: http://amzn.com/0471708585

La derivazione completa e le semplificazioni che comportano la forma abbreviata del libro di testo che presenti, non è breve / pulita, quindi viene spesso omessa o lasciata come esercizio per il lettore.

Puoi pensare al guadagno di Kalman come una proporzione mista che fa una somma ponderata di un modello analitico / simbolico e alcune misurazioni rumorose del mondo reale. Se hai misurazioni scadenti, ma un buon modello, un guadagno di Kalman correttamente impostato dovrebbe favorire il modello. Se hai un modello spazzatura, ma misurazioni abbastanza buone, il tuo guadagno di Kalman dovrebbe favorire le misurazioni. Se non hai una buona conoscenza di quali siano le tue incertezze, può essere difficile configurare correttamente il tuo filtro Kalman.

Se imposti correttamente gli input, allora è uno stimatore ottimale. Ci sono un certo numero di ipotesi che vanno alla sua derivazione e se una di esse non è vera, allora diventa uno stimatore non ottimale abbastanza buono. Ad esempio, un diagramma Lag dimostrerà che l'assunzione di Markov in un passaggio implicita nel filtro Kalman non è vera per una funzione del coseno. Una serie di Taylor è un'approssimazione, ma non è esatta. Puoi creare un filtro Kalman esteso basato sulla serie Taylor ma è approssimativo, non esatto. Se puoi ricevere informazioni da due stati precedenti anziché uno, puoi utilizzare un filtro Block Kalman e riacquistare la tua ottimalità. In conclusione, non è un cattivo strumento, ma non è "il proiettile d'argento" e il tuo chilometraggio varierà. Assicurati di caratterizzarlo bene prima di usarlo nel mondo reale.