Momenti centrali delle distribuzioni simmetriche

Sto cercando di mostrare che il momento centrale di una distribuzione simmetrica: è zero per i numeri dispari. Ad esempio, il terzo momento centraleHo iniziato cercando di mostrare cheNon sono sicuro di dove andare da qui, qualche suggerimento? C'è un modo migliore per provare questo?

f_{X} (un' + X) = f_{X} (un' - X)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— user18262
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Suggerimento: per semplicità, supponi che sia simmetrico su . È quindi possibile mostrare che dividendo l'integrale tra e e usando l'assunto di simmetria. Allora non resta che mostrare che per . Questo può essere fatto di nuovo dividendo l'integrale e usando un argomento simile.

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

Ma, suggerimento , fai attenzione con il suggerimento di @ Procrastinator (+1)! Altrimenti potresti "provare" qualcosa di falso! Devi mostrare che ogni parte dell'integrale diviso è finita. (Se uno è, anche l'altro deve esserlo.)

— cardinale

Qual è la differenza tra e ?

a

$a$

u

$u$

— Henry,

@DilipSarwate Perché non catturi tutti quei pensieri in una risposta invece di cercare minuzie nei commenti che non intendono essere risposte complete?

@Macro: un peccato, davvero. Procrastinator ora entra a far parte di un elenco di numerosi stimati collaboratori (a mio avviso) che apparentemente abbiamo perso negli ultimi mesi (o che hanno gravemente ridotto la loro attività). Tra i lati positivi, è molto bello vedere il tuo recente aumento nella partecipazione! Spero che continuerà.

— cardinale

Questa risposta ha lo scopo di fare una dimostrazione il più elementare possibile, perché spesso queste cose arrivano all'idea essenziale. Gli unici fatti necessari (al di là del più semplice tipo di manipolazioni algebriche) sono la linearità dell'integrazione (o, equivalentemente, dell'attesa), il cambiamento della formula delle variabili per gli integrali e il risultato assiomatico che un PDF integra all'unità.

Motivare questa dimostrazione è l'intuizione che quando è simmetrico rispetto a , allora il contributo di qualsiasi quantità all'attesa avrà lo stesso peso della quantità , perché e sono sui lati opposti di e ugualmente lontani da esso. A condizione, quindi, che per tutte le , tutto si annulli e le aspettative devono essere zero. Il rapporto tra e , allora, è il nostro punto di partenza. $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

Notate, scrivendo , che la simmetria può anche essere espressa dalla relazione $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 un' - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

per tutti . Per qualsiasi funzione misurabile , il cambiamento uno-a-uno della variabile da a cambia in , invertendo la direzione dell'integrazione, implicando $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (sol (X)) = \int sol (X) f_{X} (X) d X = \int sol (X) f_{X} (2 un' - X) d X = \int sol (2 un' - X) f_{X} (X) d X .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

Supponendo che questa aspettativa esista (cioè, l'integrale converge), la linearità dell'integrale implica

\int (sol (X) - sol (2 un' - X)) f_{X} (X) d X = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

Considera i momenti strani su , che sono definiti come le aspettative di , . In questi casi $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} {sol}_{K, un'} (X) - {sol}_{K, un'} (2 un' - X) & = (X - un')^{K} - (2 un' - X - un')^{K} \\ = (X - un')^{K} - (un' - X)^{K} \\ = (1^{K} - (- 1)^{K}) (X - un')^{K} \\ = 2 (X - un')^{K}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

proprio perché è dispari. Applicando il risultato precedente si ottiene $k$

0 = \int ({sol}_{K, un'} (X) - {sol}_{K, un'} (2 un' - X)) f_{X} (X) d X = 2 \int (X - un')^{K} f_{X} (X) d X .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

Poiché il lato destro è il doppio del esimo momento circa dividendo per mostra che questo momento è zero quando esiste. $k$ $a$ $2$

Infine, la media (supponendo che esista) è

μ_{X} = E_{X} (X) = \int X f_{X} (X) d X = \int (2 un' - X) f_{X} (X) d X .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

Ancora una volta sfruttando la linearità e ricordando che perché è una distribuzione di probabilità, possiamo riorganizzare l'ultima uguaglianza da leggere $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int X f_{X} (X) d X = 2 un' \int f_{X} (X) d X = 2 un' \times 1 = 2 un'

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

con la soluzione unica . Pertanto, tutti i nostri precedenti calcoli dei momenti su sono davvero i momenti centrali, QED. $\mu_X = a$ $a$

Postword

La necessità di dividere per in più punti è correlata al fatto che esiste un gruppo di ordine agisce sulle funzioni misurabili (vale a dire, il gruppo generato dalla riflessione nella linea attorno ). Più in generale, l'idea di una simmetria può essere generalizzata all'azione di qualsiasi gruppo. La teoria delle rappresentazioni di gruppo implica che quando il personaggio $2$ $2$ $a$ di quell'azione su una funzione non è banale, è ortogonale al carattere banale e ciò significa che l'aspettativa della funzione deve essere zero. Le relazioni di ortogonalità implicano l'aggiunta (o l'integrazione) sul gruppo, da cui la dimensione del gruppo appare costantemente in denominatori: la sua cardinalità quando è finita o il suo volume quando è compatto.

La bellezza di questa generalizzazione diventa evidente nelle applicazioni con simmetria manifesta , come nelle equazioni meccaniche (o meccaniche quantistiche) del moto dei sistemi simmetrici esemplificate da una molecola di benzene (che ha un gruppo di simmetria di 12 elementi). (L'applicazione QM è più rilevante qui perché calcola esplicitamente le aspettative.) I valori di interesse fisico - che in genere coinvolgono integrali multidimensionali di tensori - possono essere calcolati con niente più lavoro di quanto fosse coinvolto qui, semplicemente conoscendo i caratteri associati al integrandi. Ad esempio, i "colori" di varie molecole simmetriche - i loro spettri a varie lunghezze d'onda - possono essere determinati ab initio con questo approccio.

— whuber
fonte

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

@Max Yep: Grazie per aver letto così attentamente! (Ora è stato risolto.)

— whuber