Intervista ad Amoeba

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Mi è stata posta questa domanda durante un'intervista per una posizione commerciale con una società commerciale proprietaria. Mi piacerebbe molto conoscere la risposta a questa domanda e l'intuizione alla base.

Domanda dell'ameba: una popolazione di amebe inizia con 1. Dopo 1 periodo in cui l'ameba può dividersi in 1, 2, 3 o 0 (può morire) con uguale probabilità. Qual è la probabilità che l'intera popolazione alla fine muoia?

probability

— AME
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supponiamo che faccia ciascuno di questi con probabilità ?

1 / 4

$1/4$

— shabbychef,

16

da un punto di vista biologico, quella possibilità è 1. L'ambiente è destinato a cambiare al punto che nessuna popolazione può sopravvivere, dato che in x miliardi di anni il sole sta per esplodere. Ma immagino che non sia proprio la risposta che stava cercando. ;-) Neanche la domanda ha senso. Un'ameba può dividere solo in 2 o 0. Morale: i commercianti non dovrebbero porre domande sulla biologia.

— Joris Meys,

7

Tale domanda sul colloquio per una tale posizione? Forse è qualcosa come dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 ?

1

Questa è una domanda carina come menziona Mike. L'intuizione qui è che l'eventuale probabilità di sopravvivenza / estinzione è la stessa tra due generazioni. Si potrebbe pensare a una versione più creativa quando la probabilità di sopravvivenza stessa varia in funzione del numero di ameba presente. L'ho aggiunto al blog del mio sito.

— broccoli,

1

1) Gli amebe si riproducono per mitosi binarie. 2) Gli amebe non si riproducono in figure mitotiche anormali, ad es. Volte 3, se si vedessero tali sarebbero letali. 4) Fare domande durante un'intervista che suscitino pregiudizi nella conferma sono generalmente considerati di bassa qualità. Consigli; potresti non voler quel lavoro.

— Carl

36

Problema carino. Questo è il tipo di cose che i probabilisti fanno nella loro testa per divertimento.

La tecnica è assumere che esiste una probabilità di estinzione, chiamano . Quindi, guardando un albero decisionale a una profondità per i possibili risultati che vediamo - usando la Legge della Probabilità Totale - quello $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

supponendo che, nei casi di 2 o 3 "progenie", le loro probabilità di estinzione siano IID. Questa equazione ha due radici possibili, e . Qualcuno più intelligente di me potrebbe essere in grado di spiegare perché l' non è plausibile. $1$ $\sqrt{2}-1$ $1$

I lavori devono essere stretti: che tipo di intervistatore si aspetta che risolva equazioni cubiche nella tua testa?

— Mike Anderson
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3

Il motivo 1 non è una radice è facilmente visibile considerando il numero atteso di Amoeba dopo

passaggi, chiamalo

. Si può facilmente dimostrare che

. Perché la probabilità di ogni risultato è

abbiamo

, e quindi

cresce senza vincolato in

. Questo chiaramente non è gibe con

.

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— shabbychef,

9

@shabbychef Non è così ovvio per me. Puoi far crescere le aspettative in modo esponenziale (o anche più veloce) mentre la probabilità di estinguersi si avvicina ancora all'unità. (Ad esempio, si consideri un processo stocastico in cui la popolazione quadruplica in ciascuna generazione o si estingue completamente, ognuna con le stesse possibilità. L'aspettativa alla generazione n è 2 ^ n, ma la probabilità di estinzione è 1.) Pertanto non vi è inerente contraddizione; la tua discussione ha bisogno di qualcosa in più.

— whuber

1

@shabbychef - grazie per la modifica. Non mi ero reso conto che potevamo usare TeX incorporato per la matematica! @whuber - l'affermazione di shabbychef

è solo una variazione della mia affermazione sulla probabilità di estinzione, basta aggiungere aspettative invece di moltiplicare le probabilità. Bel lavoro, shab.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— Mike Anderson,

1

È chiaro, Mike, ma che senso hai? Non stiamo parlando di come escludere 1 come soluzione? A proposito, è ovvio (mediante ispezione e / o comprensione del problema) che 1 sarà una soluzione. Questo lo riduce a un'equazione quadratica che si può facilmente risolvere sul posto. Di solito non è questo il punto di una domanda di intervista. Il richiedente probabilmente sta cercando di vedere cosa sa attivamente il richiedente riguardo ai processi stocastici, al moto browniano, al calcolo Ito, ecc., E al modo in cui risolvono i problemi, non se possono risolvere questa particolare domanda.

— whuber

3

@shabbychef: un modo per escludere P = 1 è studiare l'evoluzione della funzione generatrice di probabilità. Il pgf si ottiene iniziando con t (che rappresenta una popolazione iniziale di 1) e sostituendo iterativamente t con (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4. Per qualsiasi valore iniziale di t inferiore a 1, un grafico mostra facilmente che le iterate convergono in Sqrt (2) -1. In particolare, il pgf sta alla larga da 1, dimostrando che non può convergere in 1 ovunque, il che rappresenterebbe la completa estinzione. Questo è il motivo per cui "l'1 non è plausibile".

— whuber

21

Una parte posteriore del calcolo della busta (letteralmente - avevo una busta in giro sulla mia scrivania) mi dà una probabilità del 42/111 (38%) di non raggiungere mai una popolazione di 3.

Ho eseguito una rapida simulazione Python, vedendo quante popolazioni erano morte da 20 generazioni (a quel punto in genere si sono estinte o sono in migliaia) e ho ottenuto 4164 morti su 10000 corse.

Quindi la risposta è del 42%.

— Emile
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9

è 0.4142, quindi è in accordo con il risultato analitico di Mike. E +1, perché mi piacciono le simulazioni ;-)

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$

2

Anche +1 perché mi piacciono le simulazioni. Quale sarebbe stata la mia risposta;).

— Fomite,

7

Questo sembra legato al processo di Galton Watson , originariamente formulato per studiare la sopravvivenza dei cognomi. La probabilità dipende dal numero atteso di sotto-amebe dopo una singola divisione. In questo caso il numero previsto è che è maggiore del valore critico di , e quindi la probabilità di estinzione è inferiore a . $3/2,$ $1$ $1$

Considerando il numero atteso di ameba dopo divisioni, si può facilmente dimostrare che se il numero atteso dopo una divisione è inferiore a , la probabilità di estinzione è . L'altra metà del problema, non ne sono così sicuro. $k$ $1$ $1$

— shabbychef
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6

Come afferma la risposta di Mike Anderson , puoi equiparare la probabilità che un lignaggio di un'ameba si estingua a una somma di probabilità del lignaggio dei bambini di estinguersi.

p_{p a r e n t} = \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{3} + \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{2} + \frac{1}{4} p_{c h i l d} + \frac{1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Quindi quando si impostano uguali le probabilità dei genitori e dei figli che il loro lignaggio si estingua, si ottiene l'equazione:

p = \frac{1}{4} p^{3} + \frac{1}{4} p^{2} + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

che ha radici $p=1$ , $p=\sqrt{2}-1$ e $p=-\sqrt{2}-1$ .

La domanda che rimane è perché la risposta dovrebbe essere $p=\sqrt{2}-1$ e non $p=1$ . Questo è ad esempio richiesto in questo duplicato delladomanda di intervista ad Amoeba: P (N = 0) 1 o 1/2? . Nellala risposta da shabbychefsi spiega che si può guardare, $E_k$ , il valore di aspettazione della dimensione della popolazione dopo il $k$ -esimo devision, e vedere se è o restringendo o in crescita.

Per me c'è un po 'di indirettezza nell'argomentazione alla base di ciò e sembra che non sia completamente provato.

Ad esempio, in uno dei commenti Whuber osserva che puoi avere un valore di aspettativa crescente $E_k$ e avere anche la probabilità di estinzione nell'approccio $k$ -esimo passaggio 1. Ad esempio potresti introdurre un evento catastrofico che cancella l'intera ameba popolazione e si verifica con una certa probabilità $x$ in ogni passaggio. Quindi il lignaggio dell'ameba morirà quasi sicuramente. Tuttavia, l'aspettativa della dimensione della popolazione nel passaggio $k$ sta crescendo.
Inoltre, la risposta lascia aperto ciò che dobbiamo pensare alla situazione quando $E_k = 1$ (ad es. Quando un'ameba si divide o non si divide con probabilità uguale, 50%, quindi il lignaggio di un'ameba si estingue con probabilità quasi $1$ evento nonostante $E_k= 1$ )

Derivazione alternativa.

Si noti che la soluzione $p=1$ può essere una verità vacua . Dividiamo la probabilità che il lignaggio del genitore si estingua al lignaggio del bambino che si estingue.

Se "la probabilità che il lignaggio del bambino si estingua è uguale a $1$ ".
Quindi "la probabilità che il lignaggio del genitore si estingua è uguale a $1$ ".

Ma ciò non significa che sia vero che "la probabilità che il lignaggio del bambino si estingua è $1$ ". Ciò è particolarmente chiaro quando ci sarebbe sempre un numero diverso da zero di prole. Ad esempio, immagina l'equazione:

p = \frac{1}{3} p^{3} + \frac{1}{3} p^{2} + \frac{1}{3} p

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

Potremmo arrivare a una soluzione in un modo leggermente diverso?

Chiamiamo $p_k$ la probabilità che il lignaggio si estingua prima della $k$ -esistenza. Poi abbiamo:

p_{1} = \frac{1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

e la relazione di ricorrenza

p_{K + 1} = \frac{1}{4} p_{K}^{3} + \frac{1}{4} p_{K}^{2} + \frac{1}{4} p_{K} + p_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

o

δ_{K} = p_{K + 1} - p_{K} = \frac{1}{4} p_{K}^{3} + \frac{1}{4} p_{K}^{2} - \frac{3}{4} p_{K} + p_{1} = f (p_{K})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

$f(p_k)>1$ $k$ $k$

Convergenza alla radice e relazione con il valore di aspettativa

$f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

$f(p_k)$ $-1$ $0\leq p \leq 1$ $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

f^{'} (p) = - 1 + Σ_{K = 1}^{\infty} {un'}_{K} K p^{K - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

— Sesto Empirico
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