Qual è la differenza tra le distribuzioni "limitanti" e "stazionarie"?


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Sto facendo una domanda sulle catene di Markov e le ultime due parti dicono questo:

  • Questa catena di Markov possiede una distribuzione limitante? Se la tua risposta è "sì", trova la distribuzione limitante. Se la tua risposta è "no", spiega perché.
  • Questa catena di Markov possiede una distribuzione stazionaria? Se la tua risposta è "sì", trova la distribuzione stazionaria. Se la tua risposta è "no", spiega perché.

Qual è la differenza? In precedenza, pensavo che la distribuzione limitante fosse quando la risolvi usando ma questa è la Π = Π PP=CAnC1n 'th matrice fase di transizione. Hanno calcolato la distribuzione limitante usando, che pensavo fosse la distribuzione stazionaria.Π=ΠP

Quale è allora?


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Il tuo libro di testo potrebbe fare una distinzione non universale: ad esempio, le note di Karl Sigman sulle distribuzioni limitanti definiscono le distribuzioni "limitanti" e "stazionarie" come sinonimi (definizione 2.3 in fondo a p. 5). Pertanto, è necessario consultare le definizioni nel manuale per determinare la differenza.
whuber

limnPii(n)Π=(π0,π1,...,πn)

@whuber In realtà, ora sono abbastanza confuso perché nella precedente domanda di distribuzione limitante, non soddisfano l' , quindi forse è diverso? π0+π1+π2=1
Kaish,

2
Una distribuzione stazionaria è stabile nel tempo. Per quanto ne so, la distribuzione limitante di una catena di Markov è stazionaria e se una catena di Markov ha una distribuzione stazionaria, è anche una distribuzione limitante.
Shadowtalker,

La risposta qui di Andreas potrebbe aiutare quora.com/…
Siddharth Shakya l'

Risposte:


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Da un'introduzione alla modellazione stocastica di Pinsky e Karlin (2011):

π = ( 1

P=0110
ma è un distribuzione stazionaria, poiché (p. 205).(1π=(12,12)
(12,12)0110=(12,12)

In una sezione precedente, avevano già definito una " distribuzione di probabilità limitante " diπ

limnPij(n)=πj for j=0,1,,N

e equivalentemente

limnPr{Xn=j|X0=i}=πj>0 for j=0,1,,N
(p. 165).

L'esempio sopra oscilla in modo deterministico e quindi non ha un limite allo stesso modo in cui la sequenza non ha un limite.{1,0,1,0,1,}


Dichiarano che una normale catena di Markov (in cui tutte le probabilità di transizione n-step sono positive) ha sempre una distribuzione limitante e dimostrano che deve essere l'unica soluzione non negativa a

πj=k=0NπkPkj,  j=0,1,,N,k=0Nπk=1
(p. 168 )

Quindi sulla stessa pagina dell'esempio, scrivono

Qualsiasi insieme soddisfacente (4.27) è chiamato distribuzione di probabilità stazionaria della catena di Markov. Il termine "stazionario" deriva dalla proprietà che una catena di Markov avviata secondo una distribuzione stazionaria seguirà questa distribuzione in ogni momento. Formalmente, se Pr { X 0 = i } = π i , allora Pr { X n = i } = π i per tutto n = 1 , 2 ,(πi)i=0Pr{X0=i}=πiPr{Xn=i}=πi .n=1,2,

dove (4.27) è l'insieme di equazioni

πio0,Σio=0πio=1, un'nd πj=Σio=0πioPioj.

che è esattamente la stessa condizione di stazionarietà di cui sopra, tranne ora con un numero infinito di stati.

Con questa definizione di stazionarietà, l'affermazione a pagina 168 può essere riformulata retroattivamente come:

  1. La distribuzione limitante di una normale catena di Markov è una distribuzione stazionaria.
  2. Se la distribuzione limitante di una catena di Markov è una distribuzione stazionaria, la distribuzione stazionaria è unica.

Puoi chiarire cosa intendi per "probabilità di transizione che non cambiano nel tempo" per stazionarietà? Sia la limitazione che la distribuzione stazionaria riguardano le probabilità sugli stati.
Juho Kokkala,

1
Sì, vedo che hai scritto la tua risposta, ma ho riorganizzato la mia per essere più corretto.
Shadowtalker,

Ancora non capisco. Voglio dire cosa intendi quando dici "tranne ora con un numero infinito di stati ...."? Potete per favore chiarirlo più esplicitamente.
roni,

@roni le due espressioni sono identiche se si lascia N=
shadowtalker il

Nel primo blocco evidenziato, è la distribuzione stazionaria per l'esempio, tuttavia, non ha distribuzione limite poiché P n oscillerà, e quindi non ha stato stazionario. Ciò significa che non garantirà l'esistenza di uno stato stazionario se viene calcolata solo la distribuzione stazionaria? π=(1/2,1/2)Pn
Guoyang Qin,

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Una distribuzione stazionaria è tale distribuzione che se la distribuzione sugli stati nella fase k è π , allora anche la distribuzione sugli stati nella fase k + 1 è π . Cioè, π = π P . Una distribuzione limitante è tale distribuzione π che, indipendentemente dalla distribuzione iniziale, la distribuzione sugli stati converge in π quando il numero di passi va all'infinito: lim k π ( 0 ) P k = π ,πKπK+1π

π=πP.
ππ
limKπ(0)PK=π,
indipendente da . Ad esempio, consideriamo una catena di Markov i cui due stati sono i lati di una moneta, { h e a d s , t a i l s } . Ogni passaggio consiste nel capovolgere la moneta (con probabilità 1). Si noti che quando calcoliamo le distribuzioni di stato, queste non sono subordinate ai passaggi precedenti, ovvero il tipo che calcola le probabilità non vede la moneta. Quindi, la matrice di transizione è P = ( 0 1 1 0 ) . Se inizializziamo prima la moneta lanciandola in modo casuale ( ππ(0){heun'dS,tun'iolS}
P=(0110).
), quindi anche tutte le fasi temporali successive seguono questa distribuzione. (Se lanci una moneta giusta, e poi la capovolgi, la probabilità delle teste è ancora0,5). Pertanto, ( 0,5 0,5 ) è una distribuzione fissa per questa catena di Markov.π(0)=(0.50.5)0.5(0.50.5)

2/32/31/3

6

P=(1/65/65/61/6).
0.5(0.50.5)

Un buon punto per dimenticare lo stato iniziale, ho completamente ignorato questo nella mia risposta.
Shadowtalker,

P=(0110)
Guoyang Qin

@GuoyangQin Se hai una nuova domanda, potresti voler inviarla come domanda (collegandoti a questa se ti aiuta a fornire una domanda). Anche se avrei pensato che "stato stazionario" in questo contesto avrebbe significato "distribuzione stazionaria", quindi sarebbe meglio definire chiaramente il termine nella domanda
Juho Kokkala,

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Mettendo da parte la notazione, la parola "stazionario" significa "una volta arrivato lì, rimarrai lì"; mentre la parola "limitare" implica "alla fine ci arriverai se vai abbastanza lontano". Ho pensato che potesse essere utile.


Non è chiaro come questo si applica alla domanda. Potresti spiegare?
whuber

2
Ciao @whuber, intendo dire che una distribuzione limitante è necessariamente una distribuzione stazionaria mentre una distribuzione stazionaria non è necessariamente una distribuzione limitante. Quindi c'è una differenza. Questo è essenzialmente lo stesso di altre risposte, ma penso che sia più facile da ricordare.
BlueSky

Grazie per il chiarimento: ci mostra cosa stai cercando di realizzare. Tuttavia, non riesco a trovare un modo ragionevole per interpretare la tua descrizione di "stazionario" in modo coerente con la definizione matematica.
whuber

La frase di @whuber BlueSky mi sembra una nozione inglese estremamente semplice di "punto fisso" per me - non sono sicuro di cosa possa significare il tuo oggetto.
Richard Rast,
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