Qual è la differenza tra regressione lineare trasformata logit, regressione logistica e un modello misto logistico?

Supponiamo che io abbia 10 studenti, ognuno dei quali tenta di risolvere 20 problemi di matematica. I problemi sono classificati come corretti o errati (in longdata) e le prestazioni di ogni studente possono essere riassunte da una misura di precisione (in subjdata). I modelli 1, 2 e 4 di seguito sembrano produrre risultati diversi, ma capisco che stanno facendo la stessa cosa. Perché stanno producendo risultati diversi? (Ho incluso il modello 3 per riferimento.)

library(lme4)

set.seed(1)
nsubjs=10
nprobs=20
subjdata = data.frame('subj'=rep(1:nsubjs),'iq'=rep(seq(80,120,10),nsubjs/5))
longdata = subjdata[rep(seq_len(nrow(subjdata)), each=nprobs), ]
longdata$correct = runif(nsubjs*nprobs)<pnorm(longdata$iq/50-1.4)
subjdata$acc = by(longdata$correct,longdata$subj,mean)
model1 = lm(logit(acc)~iq,subjdata)
model2 = glm(acc~iq,subjdata,family=gaussian(link='logit'))
model3 = glm(acc~iq,subjdata,family=binomial(link='logit'))
model4 = lmer(correct~iq+(1|subj),longdata,family=binomial(link='logit'))

I modelli 1 e 2 sono diversi perché il primo trasforma la risposta e il secondo trasforma il valore atteso.

Per il Modello 1 il logit di ogni risposta è normalmente distribuito con la sua media essendo una funzione lineare del predittore e dei vettori coerenti. e quindi Per il modello 2 la risposta stessa è normalmente distribuita con il logit della sua media essendo una funzione lineare del predittore e vettori coerenti e quindi μ i = x ′ i β Y i = logit - 1 ( x ′ i β + ε i ) Y i ∼ N ( μ i , σ 2 ) logit μ i = x i β Y i = logit - 1 (

Quindi la struttura della varianza sarà diversa. Immagina di simulare dal Modello 2: la varianza sarà indipendente dal valore atteso; e sebbene i valori previsti delle risposte siano compresi tra 0 e 1, le risposte non saranno tutte.

I modelli misti lineari generalizzati come il tuo Modello 4 sono di nuovo diversi perché contengono effetti casuali: vedi qui e qui .

+1 a @Scortchi, che ha fornito una risposta molto chiara e concisa. Voglio fare un paio di punti complementari. Innanzitutto, per il tuo secondo modello, stai specificando che la tua distribuzione di risposta è gaussiana (aka, normale). Questo deve essere falso, perché ogni risposta è valutata come corretta o errata. Cioè, ogni risposta è un processo a Bernoulli. Pertanto, la distribuzione della risposta è un binomio. Questa idea si riflette accuratamente anche nel tuo codice. Successivamente, la probabilità che governa la distribuzione della risposta è normalmente distribuita, quindi il collegamento dovrebbe essere probit, non logit. Infine, se questa fosse una situazione reale, dovresti tenere conto degli effetti casuali sia per i soggetti che per le domande, poiché è estremamente improbabile che siano identici. Il modo in cui hai generato questi dati, l'unico aspetto rilevante di ogni persona è il loro QI, di cui hai spiegato esplicitamente. Pertanto, non è rimasto nulla che debba essere giustificato da un effetto casuale nel modello. Questo vale anche per le domande, poiché le variazioni casuali nella difficoltà della domanda non fanno parte del processo di generazione dei dati nel codice.

Non intendo essere pignolo qui. Riconosco che la tua configurazione è semplicemente progettata per facilitare la tua domanda e ha servito a tale scopo; @Scortchi è stato in grado di rispondere alle tue domande in modo molto diretto, con il minimo sforzo. Tuttavia, sottolineo queste cose perché offrono ulteriori opportunità per capire la situazione che stai affrontando e perché potresti non aver capito che il tuo codice corrisponde ad alcune parti della trama ma non ad altre.