Aspettativa condizionale della variabile casuale esponenziale


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Per una variabile casuale ( ) Sento intuitivamente che dovrebbe essere uguale a poiché dalla proprietà senza memoria la distribuzione di è uguale a quella di ma spostata a destra di .XExp(λ)E[X]=1λE[X|X>x]x+E[X]X|X>xXx

Tuttavia, sto lottando per usare la proprietà senza memoria per dare una prova concreta. Ogni aiuto è molto apprezzato.

Grazie.


Suggerimento: è l'espressione matematica corrispondente a "spostato a destra di ", quindiOra fai un cambiamento di variabili sull'integrale a destra. fX|X>a(x)=fX(xa)a
E[XX>a]=xfXX>a(x)dx=xfX(xa)dx.
Dilip Sarwate,

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Si noti che è una distribuzione troncata troncata sotto " ". Soprattutto viene spostata la distribuzione esponenziale e spostata esponenziale non ha proprietà senza memoria . X|X>xx
AD

Risposte:


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dalla proprietà senza memoria la distribuzione di è la stessa di quella di ma spostata a destra di .X|X>xXx

Lasciate denota la funzione di densità di probabilità (pdf) di . Quindi, la formulazione matematica per ciò che affermi correttamente vale a dire, il pdf condizionale di dato che è la stessa di ma spostato a destra di è che . Quindi, , il valore atteso di dato che è fX(t)XX { X > x } X x - f X X > x ( t ) = f X ( t - x ) E [ X X > x ] X { X > x } E [ X X > x ]X{X>x}Xx fXX>x(t)=fX(tx)E[XX>x]X{X>x}

E[XX>x]=tfXX>x(t)dt=tfX(tx)dt=(x+u)fX(u)duon substituting u=tx=x+E[X].
Nota che non abbiamo usato esplicitamente la densità di nel calcolo e non abbiamo nemmeno bisogno di integrarci esplicitamente se ricordiamo semplicemente che (i) l'area sotto un pdf è e (ii) la definizione del valore atteso di una variabile casuale continua in termini di pdf.X11


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Per , l'evento ha probabilità . Quindi, ma (usando il trucco di Feynman, rivendicato dal Teorema della Convergenza Dominata, perché è divertente) { X > x } P { X > x } = 1 - F X ( x ) = e - λ x > 0x>0{X>x}P{X>x}=1FX(x)=eλx>0

E[XX>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=xtλeλtdt=()
()=λxddλ(eλt)dt=λddλxeλtdt
=λddλ(1λxλeλtdt)=λddλ(1λ(1FX(x)))
=λddλ(eλxλ)=(1λ+x)eλx,
che fornisce il risultato desiderato
E[XX>x]=1λ+x=E[X]+x.

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Sebbene l'uso del trucco di Feynman sia interessante, perché non integrarsi semplicemente per parti per ottenere
xtλeλtdt=teλt|x+xeλtdt=(x+1λ)eλx?
Dilip Sarwate,
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