Prova della vicinanza delle funzioni del kernel sotto un prodotto puntuale

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Come posso dimostrare che il prodotto puntuale di due funzioni del kernel è una funzione del kernel?

machine-learning kernel-trick

— Gigili
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Per prodotto puntuale, presumo che tu intenda che se sono entrambe funzioni del kernel valide, allora il loro prodotto $k_1(x,y), k_2(x,y)$

\begin{aligned} k_{p} (x, y) = k_{1} (x, y) k_{2} (x, y) \end{aligned}

$\begin{align} k_{p}( x, y) = k_1( x, y) k_2(x,y) \end{align}$

è anche una funzione del kernel valida.

$k_1, k_2$ $a$ $k_1$ $b$ $k_2$

\begin{aligned} k_{1} (x, y) = a (x)^{T} a (y), a (z) = [a_{1} (z), a_{2} (z), \dots a_{M} (z)] \\ k_{2} (x, y) = b (x)^{T} b (y), b (z) = [b_{1} (z), b_{2} (z), \dots b_{N} (z)] \end{aligned}

$\begin{align} k_1(x,y) = a(x)^T a(y), \qquad a( z ) = [a_1(z), a_2(z), \ldots a_M(z)] \\ k_2(x,y) = b(x)^T b(y), \qquad b( z ) = [b_1(z), b_2(z), \ldots b_N(z)] \end{align}$

$a$ $M$ $b$ $N$

$a$ $b$

\begin{aligned} k_{p} (x, y) & = k_{1} (x, y) k_{2} (x, y) \\ = (\sum_{m = 1}^{M} a_{m} (x) a_{m} (y)) (\sum_{n = 1}^{N} b_{n} (x) b_{n} (y)) \\ = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} [a_{m} (x) b_{n} (x)] [a_{m} (y) b_{n} (y)] \\ = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} c_{m n} (x) c_{m n} (y) \\ = c (x)^{T} c (y) \end{aligned}

$\begin{align} k_{p}(x,y) &= k_1(x,y) k_2(x,y) \\&= \Big( \sum_{m=1}^M a_m(x) a_m(y) \Big) \Big( \sum_{n=1}^N b_n(x) b_n(y) \Big) \\&= \sum_{m=1}^M \sum_{n=1}^N [ a_m(x) b_n(x) ] [a_m(y) b_n(y)] \\&= \sum_{m=1}^M \sum_{n=1}^N c_{mn}( x ) c_{mn}( y ) \\&= c(x)^T c(y) \end{align}$

$c(z)$ $M \cdot N$ $c_{mn}(z) = a_m(z) b_n(z)$

$k_p(x,y)$ $c$ $k_p$

— Mike Hughes
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Come fai a sapere che la funzione spazio di Hilbert è di dimensioni finite? Non potrebbe essere nemmeno non separabile?

— Andrei Kh,

k

$k$

⟹

$\implies$

k_{p}

$k_p$

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Che ne dici della seguente prova:

Fonte: lezione sui metodi del kernel UChicago , pagina 5

— Palen
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$K1$ $K2$ $k_1(x,y)$ $k_2(x,y)$ $k(x,y) = k_1(x,y)k_2(x,y)$ $K = K1 \circ K2$

$K_3 = K1 \otimes K2$
$K$ $K_3$

— Ceyao Zhang
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