I gradi di libertà per il test di Welch sono sempre inferiori al DF del test in pool?

Sto insegnando un corso sulle statistiche di base e stiamo facendo il test t per due campioni indipendenti con varianze ineguali (test di Welch). Negli esempi che ho visto, i gradi di libertà adeguati utilizzati dal test Welch sono sempre inferiori o uguali a . $n_1+n_2-2$

È sempre così? Il test Welch riduce sempre (o lascia invariato) i gradi di libertà del test t raggruppato (varianze uguali)?

E sullo stesso argomento, se le deviazioni standard del campione sono uguali, i DF del test di Welch si riducono a ? Ho guardato la formula, ma l'algebra è diventata disordinata.$n_1+n_2-2$

Sì.

Il test Welch utilizza la regolazione Satterthaite-Welch per i gradi di libertà: Come puoi vedere, è piuttosto brutto (e in effetti è approssimato numericamente), ma richiede che . Ecco un riferimento: Howell (2002, p. 214) afferma che " è limitato dal più piccolo di e a un estremo e da all'altro ".
df′<dfdf′n1-1n2-1n1+n2-2d

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Ecco i riferimenti "ufficiali" (si noti che l'adeguamento sopra - quello che viene generalmente utilizzato - è derivato nel secondo documento):

• Welch, BL (1938). "Il significato della differenza tra due mezzi quando le variazioni della popolazione sono disuguali". Biometrika, 29, 3/4 , pagg. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). "Una distribuzione approssimativa delle stime dei componenti della varianza". Bollettino biometrico, 2, 6 , pagg. 110-114 .
• Welch, BL (1947). "La generalizzazione del problema di" Studente "quando sono coinvolte diverse varianti di popolazione". Biometrika, 34, 1/2 , pagg. 28–35 .

(Google può produrre versioni non assegnate di questi.)