Spiegazione intuitiva della periodicità nelle catene di Markov

Qualcuno può spiegarmi in modo intuitivo qual è la periodicità di una catena di Markov?

È definito come segue:

Per tutti gli stati $i$ in $S$

$d_i$ = gcd$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

Grazie per l'impegno!

Prima di tutto, la tua definizione non è del tutto corretta. Ecco la definizione corretta da Wikipedia, come suggerito da Ciano.

Periodicità (fonte: wikipedia )

Uno stato i ha il periodo k se un ritorno allo stato i deve avvenire in multipli di k intervalli di tempo. Formalmente, il periodo di uno stato è definito come

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

(dove "gcd" è il massimo divisore comune). Si noti che anche se uno stato ha il periodo k, potrebbe non essere possibile raggiungere lo stato in k passaggi. Ad esempio, supponiamo che sia possibile tornare allo stato in {6, 8, 10, 12, ...} intervalli di tempo; k sarebbe 2, anche se 2 non appare in questo elenco.

Se k = 1, allora lo stato si dice aperiodico: ritorna allo stato che può verificarsi in momenti irregolari. In altre parole, uno stato i è aperiodico se esiste n tale che per tutto n '≥ n,

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

Altrimenti (k> 1), si dice che lo stato è periodico con il periodo k. Una catena di Markov è aperiodica se ogni stato è aperiodico.

La mia spiegazione

Il termine periodicità descrive se qualcosa (un evento o qui: la visita di un determinato stato) sta avvenendo a intervalli regolari. Qui il tempo è misurato nel numero di stati che visiti.

Primo esempio:

Ora immagina che l'orologio rappresenti una catena markov e ogni ora segni uno stato, quindi abbiamo 12 stati. Ogni stato viene visitato dalla lancetta delle ore ogni 12 ore (stati) con probabilità = 1, quindi anche il massimo comune divisore è 12.

Quindi ogni stato (ora) è periodico con il periodo 12.

Secondo esempio:

$start$$heads$$tails$

$heads$$start$$tails$$start$

$heads$$heads$$heads$$heads$

$tails$$start$$start$

$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd