Spiegazione intuitiva della periodicità nelle catene di Markov


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Qualcuno può spiegarmi in modo intuitivo qual è la periodicità di una catena di Markov?

È definito come segue:

Per tutti gli stati i in S

di = gcd{nN|pii(n)>0}=1

Grazie per l'impegno!


1
Ho trovato la scrittura di Wikipedia sintetica e chiara. Fa il lavoro per te?
Ciano

2
La definizione in OP si chiama "aperioidica".
Jack,

Risposte:


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Prima di tutto, la tua definizione non è del tutto corretta. Ecco la definizione corretta da Wikipedia, come suggerito da Ciano.


Periodicità (fonte: wikipedia )

Uno stato i ha il periodo k se un ritorno allo stato i deve avvenire in multipli di k intervalli di tempo. Formalmente, il periodo di uno stato è definito come

k = gcd{n:Pr(Xn=i|X0=i)>0}

(dove "gcd" è il massimo divisore comune). Si noti che anche se uno stato ha il periodo k, potrebbe non essere possibile raggiungere lo stato in k passaggi. Ad esempio, supponiamo che sia possibile tornare allo stato in {6, 8, 10, 12, ...} intervalli di tempo; k sarebbe 2, anche se 2 non appare in questo elenco.

Se k = 1, allora lo stato si dice aperiodico: ritorna allo stato che può verificarsi in momenti irregolari. In altre parole, uno stato i è aperiodico se esiste n tale che per tutto n '≥ n,

Pr(Xn=i|X0=i)>0.

Altrimenti (k> 1), si dice che lo stato è periodico con il periodo k. Una catena di Markov è aperiodica se ogni stato è aperiodico.


La mia spiegazione

Il termine periodicità descrive se qualcosa (un evento o qui: la visita di un determinato stato) sta avvenendo a intervalli regolari. Qui il tempo è misurato nel numero di stati che visiti.

Primo esempio:

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Ora immagina che l'orologio rappresenti una catena markov e ogni ora segni uno stato, quindi abbiamo 12 stati. Ogni stato viene visitato dalla lancetta delle ore ogni 12 ore (stati) con probabilità = 1, quindi anche il massimo comune divisore è 12.

Quindi ogni stato (ora) è periodico con il periodo 12.

Secondo esempio:

startheadstails

inserisci qui la descrizione dell'immagine

headsstarttailsstart

headsheadsheadsheads

tailsstartstart


0

n>0Piin=0Piii

>1gcdnPPiin=0gcd


Stai confondendo la periodicità con la riducibilità. Se la catena è irriducibile, è possibile passare da qualsiasi stato a qualsiasi altro stato. La periodicità è importante in MCMC perché anche se ogni stato potrebbe essere raggiunto (irriducibilità) la convergenza (as) alla distribuzione target dipende dalla proprietà aggiuntiva dell'aperiodicità. Vedere ad esempio "Varianza asintotica e tassi di convergenza degli algoritmi MCMC quasi periodici" di Rosenthal (2001).
Anne van Rossum,
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