Come si calcola l'aspettativa di ?

Se è distribuito esponenzialmente con il parametro e sono reciprocamente indipendenti, qual è l'aspettativa di $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

in termini di e e forse altre costanti? $n$ $\lambda$

Nota: questa domanda ha ottenuto una risposta matematica su /math//q/12068/4051 . Anche i lettori lo darebbero un'occhiata.

expected-value exponential gamma-distribution

— Isaac
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Le due copie di questa domanda si riferiscono a vicenda e, opportunamente, il sito di statistiche (qui) ha una risposta statistica e il sito di matematica ha una risposta matematica. Sembra una buona divisione: lascialo stare!

— whuber

Risposte:

Se , quindi (sotto indipendenza), , quindi è distribuito gamma (vedi wikipedia ). Quindi, abbiamo solo bisogno di . Poiché , sappiamo che . Pertanto, (vedi Wikipedia per l'attesa e la varianza della distribuzione gamma). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— Wolfgang
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Grazie. Un modo molto semplice di rispondere alla domanda (portando alla stessa risposta) è stato fornito anche su math.stackexchange (link sopra nella domanda) qualche minuto fa.

— Wolfgang,

La risposta matematica calcola gli integrali usando la linearità delle aspettative. In un certo senso è più semplice. Ma mi piace la tua soluzione perché sfrutta la conoscenza statistica : poiché sai che una somma di variabili esponenziali indipendenti ha una distribuzione gamma, il gioco è fatto.

— whuber

Mi è piaciuto un po 'e non sono affatto uno statistico o un matematico.

— Kortuk,

risposta molto elegante.

— Cyrus S,

@Dilip Il matematico tende a vedere questa domanda come chiedendo un integrale e procede direttamente all'integrazione. Lo statista lo reprime in termini di quantità statistiche familiari, come la varianza e relazioni statistiche familiari, come ad esempio l'esponenziale è Gamma e la famiglia Gamma è chiusa sotto convoluzione. Le risposte sono le stesse ma gli approcci sono completamente diversi. Quindi c'è la domanda su cosa significhi "fare un'integrazione". Ad esempio, questo complicato integrale viene eseguito in modo puramente algebrico.

— whuber

La risposta sopra è molto bella e risponde completamente alla domanda, ma fornirò invece una formula generale per il quadrato atteso di una somma e la applicherò all'esempio specifico menzionato qui.

Per qualsiasi insieme di costanti è un dato di fatto $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

questo è vero per la proprietà Distributiva e diventa chiaro se consideri cosa stai facendo quando calcoli a mano. $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Pertanto, per un campione di variabili casuali , indipendentemente dalle distribuzioni, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

purché esistano queste aspettative.

Nell'esempio del problema, sono variabili casuali iid , che ci dicono che e per ogni . Per indipendenza, per , abbiamo $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

Ci sono di questi termini nella somma. Quando , abbiamo $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

e ci sono di questi termini nella somma. Pertanto, utilizzando la formula sopra, $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

è la tua risposta.

— macro
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Questo problema è solo un caso speciale del problema molto più generale di "momenti dei momenti" che sono generalmente definiti in termini di notazione della somma di potenza. In particolare, nella notazione della somma di potenza:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Quindi, indipendentemente dalla distribuzione , il poster originale cerca (purché esistano i momenti). Poiché l'operatore delle aspettative è solo il 1 ° momento grezzo, la soluzione è data nel software mathStatica da: $E[s_1^2]$

['___ToRaw' significa che vogliamo che la soluzione sia presentata in termini di momenti grezzi della popolazione (piuttosto che dire momenti centrali o cumulativi). ]

Infine, se ~ Exponential ( ) con pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

quindi possiamo sostituire i momenti nella soluzione generale con i valori effettivi per una variabile casuale esponenziale, in questo modo: $\mu_i$ sol

Tutto fatto.

PS Il motivo per cui le altre soluzioni pubblicate qui danno una risposta con nel denominatore piuttosto che nel numeratore è, ovviamente, perché stanno usando una diversa parametrizzazione della distribuzione esponenziale. Dato che l'OP non ha indicato quale versione stesse usando, ho deciso di usare la definizione del manuale della teoria della distribuzione standard Johnson Kotz et al ... solo per bilanciare le cose :) $\lambda^2$

— Wolfies
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