Come verificare se le pendenze nel modello lineare sono uguali a un valore fisso?

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Supponiamo di avere un semplice modello di regressione lineare e vorremmo testare l'ipotesi nulla $Z = aX + bY$ contro l'alternativa generale. $H_0: a=b=\frac{1}{2}$

Penso che si possa utilizzare la stima di e e applicare ulteriormente una -test per ottenere l'intervallo di confidenza intorno $\hat{a}$ $SE(\hat{a})$ $Z$ . Va bene? $\frac{1}{2}$

L'altra domanda è fortemente correlata a questa. Supponiamo di avere un campione e si calcola statistiche $\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$ $\chi^2$

Queste statistiche possono essere utilizzate per testare la stessa ipotesi nulla?

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(z_{i} - \frac{x_{i} + y_{i}}{2})^{2}}{\frac{x_{i} + y_{i}}{2}} .

$\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation}$

hypothesis-testing regression

— lan
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$X$ $Y$

Z = a X + b Y + ϵ

$Z = a X + b Y + \epsilon$

è algebricamente uguale a

Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2}) X + (b - \frac{1}{2}) Y + ϵ = α X + β Y + ϵ .

$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$

$\alpha = a - \frac{1}{2}$ $\beta =b - \frac{1}{2}$ $\epsilon$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\alpha = \beta = 0$

$\frac{x_i+y_i}{2}$ $Z$ $X$ $Y$ $z_i - (x_i+y_i)/2$

— whuber
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Grazie per la tua risposta. È stato molto utile In realtà, non ero molto preciso nella formulazione della seconda parte della domanda. Immagina che xs e ys siano numeri positivi, misurati nelle stesse unità. Le z (risultato osservato) misurano in qualche modo l '"interazione" in quel senso che se non c'è interazione le z dovrebbero essere (x + y) / 2 (risultato atteso). Quindi dal mio punto di vista era lo stesso usare la regressione con l'ipotesi nulla a = b = 1/2 o confrontare la bontà di adattamento usando le statistiche chi ^ 2 di Pearson. Questo ha senso? Grazie!

— Lan,

1

@Lan Penso che la risposta di Wolfgang illustri bene come fare il test che stai proponendo. È un esempio di ciò che significava testare un'ipotesi "nel solito modo".

— whuber

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$Z = aX + bY$ $SSE_f$ $Z - \hat{Z}$ $\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$ $SSE_r$

Ora calcola:

$((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

$n$ $H_0$ $2$ $n-2$

Ecco un esempio usando R:

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

$\alpha$

$Z = aX + bY$ $Z = c + aX + bY$

— Wolfgang
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