Mi sento un po 'a disagio per come ho affrontato mentalmente il paradosso di Borel e altri "paradossi" associati che hanno a che fare con la probabilità condizionale. Per coloro che stanno leggendo questo e non lo conoscono, vedere questo link . La mia risposta mentale fino a questo punto è stata per lo più ignorarla perché nessuno sembra parlarne, ma sento che dovrei correggerlo.
Sappiamo che questo paradosso esiste, eppure sembra che in pratica (come esempio estremo, analisi bayesiana) stiamo perfettamente bene con il condizionamento su eventi di misura ; se X sono i miei dati, condizioniamo sempre X = x , anche se questo è un evento di misura 0 quando X è continuo. E certamente non facciamo alcuno sforzo per costruire una sequenza di eventi convergenti con l'evento che abbiamo osservato per risolvere il paradosso, almeno non esplicitamente.
Penso che vada bene perché abbiamo essenzialmente risolto la variabile casuale (in linea di principio) prima dell'esperimento, e quindi stiamo condizionando su σ ( X ) . Cioè, σ ( X ) è l' algebra σ naturale da condizionare perché l'informazione X = x verrà utilizzata attraverso X - se fosse venuta da noi in qualche altro modo, ci saremmo condizionati su una diversa σ -algebra. Il paradosso di Borel sorge perché (immagino) non è ovvio quale sia l' algebra σ appropriata su cui condizionare, ma il bayesiano ha specificato . Perché stiamo specificando a priori che l'informazione X = x ci è arrivata permezzo della misurazione di X siamo in chiaro. Una volta specificato l'algebra σ , tutto va bene; costruiamo la nostra aspettativa condizionale usando Radon-Nikodym e tutto è unico fino a null set.
È sostanzialmente giusto o sto andando via? Se sono lontana, qual è la giustificazione per comportarci come facciamo? [Data la natura di domande e risposte di questo sito, considera questa come una mia domanda.] Quando ho preso la mia probabilità teorica di misura, per qualche ragione non capisco, non abbiamo mai nemmeno toccato le aspettative condizionali. Di conseguenza, sono preoccupato che le mie idee siano molto confuse.