Dimensioni di un test e livello di significatività

Qual è la differenza tra i due e perché il livello di significatività deve essere sempre maggiore o uguale alla dimensione del test?

estimation

— Fatsho
fonte

Non riconosco il significato di "dimensione di un test". Forse vuoi dire "dimensione di una statistica test", come F o T o Z . In tal caso il livello di significatività ( p ) non è necessariamente superiore o inferiore. Stai citando da una fonte particolare? In tal caso, includi il preventivo e qualcuno senza dubbio ti aiuterà a chiarirlo.

— rolando2

@rolando "Dimensione del test" è un termine standard: vedi scholar.google.com/… .

— whuber

Supponiamo di avere un campione casuale da una distribuzione che coinvolge un parametro che assume valori in uno spazio parametri . Si partiziona lo spazio dei parametri come e si desidera verificare le ipotesi che sono chiamate null e ipotesi alternative , rispettivamente. $X_1,\dots,X_n$ $\theta$ $\Theta$ $\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

H_{0} : θ \in Θ_{0},

$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$

H_{1} : θ \in Θ_{1},

$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$

Lascia che denoti lo spazio campione di tutti i possibili valori del vettore casuale . Il tuo obiettivo nella costruzione di una procedura di test è di dividere questo spazio campione in due pezzi: la regione critica , contenente i valori di per i quali respingerai l'ipotesi nulla (e, quindi, accetta l'alternativa ) e la regione di accettazione , contenente i valori di per i quali non respingerai l'ipotesi nulla (e, quindi, respingi l'alternativa ). $\mathscr{X}$ $X=(X_1,\dots,X_n)$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$ $X$ $H_0$ $H_1$ $\mathscr{A}$ $X$ $H_0$ $H_1$

Formalmente, una procedura di prova può essere descritta come una funzione misurabile , con l'ovvia interpretazione in termini di decisioni prese a favore di ciascuna delle ipotesi. La regione critica è e la regione di accettazione è . $\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$ $\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$ $\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

Per ogni procedura di test , definiamo la sua funzione di potenza da In parole, ti dà la probabilità di rifiutare quando il valore del parametro è . $\varphi$ $\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

π_{φ} (θ) = Pr (φ (X) = 1 ∣ θ) = Pr (X \in C ∣ θ) .

$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$

π_{φ} (θ)

$\pi_\varphi(\theta)$

H_{0}

$H_0$

θ

$\theta$

La decisione di rifiutare quando è sbagliata . Quindi, per un dato problema, potresti considerare solo quelle procedure di test per le quali , per ogni , in cui è un livello di significato ( ). Si noti che il livello di significatività è una proprietà di una classe di procedure di test. Possiamo descrivere questa classe esattamente come $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $\varphi$ $\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$ $\theta\in\Theta_0$ $\alpha$ $0<\alpha<1$

T_{α} = {φ \in {0, 1}^{X} : π_{φ} (θ) \leq α, for every θ \in Θ_{0}} .

$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$

Per ogni singola procedura di test , la massima probabilità di rifiutare erroneamente è chiamata dimensione della procedura di test . $\varphi$ $\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$ $H_0$ $\varphi$

Da queste definizioni deriva che, una volta stabilito un livello di significatività , e quindi determinato la classe delle procedure di test accettabili, ogni procedura di test all'interno di questa classe avrà dimensione e viceversa. In breve, se e solo se . $\alpha$ $\mathscr{T}_{\alpha}$ $\varphi$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$ $\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$

— zen
fonte

Wow. Grazie per tutto lo sforzo che hai investito in questa risposta.

— ASB

Sono venuto qui per conoscere dimensioni vs livello e ho lasciato la comprensione delle prove di ipotesi complessivamente migliori. Eccellente combinazione di intuizione e notazione.

— Gwg