Spiegazione del fattore di correzione finito

Comprendo che quando il campionamento da una popolazione finita e la nostra dimensione del campione è superiore al 5% della popolazione, abbiamo bisogno di una correzione sulla media e sull'errore standard del campione usando questa formula:

$\hspace{10mm} FPC=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Dove è la dimensione della popolazione e è la dimensione del campione. $N$ $n$

Ho 3 domande su questa formula:

Perché la soglia è impostata al 5%?
Come è stata derivata la formula?
Ci sono altre risorse online che spiegano in modo completo questa formula oltre a questo documento?

sampling finite-population

— Sara
fonte

Non correggi la media!

— whuber

Correggi solo la varianza.

— SmallChess

La soglia è scelta in modo tale da garantire la convergenza della distribuzione ipergeometrica ( è la sua SD), invece di una distribuzione binomiale (per campionamento con sostituzione), a una distribuzione normale (questo è il Teorema del limite centrale, vedi ad esempio,La curva normale,Il teorema del limite centrale e Le disuguaglianze di Markov e Chebychev per Variabili casuali). In altre parole, quando(ovvero,non è "troppo grande" rispetto a), l'FPC può essere tranquillamente ignorato; è facile vedere come il fattore di correzione si evolve variandoper unfisso: con, abbiamo $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ $n/N\leq 0.05$ $n$ $N$ $n$ $N$ $N=10,000$ $\text{FPC}=.9995$ quando mentre quando . Quando $n=10$ $\text{FPC}=.3162$ $n=9,000$ $N\to\infty$ , l'FPC si avvicina a 1 e siamo vicini alla situazione del campionamento con la sostituzione (cioè, come con una popolazione infinita).

Per comprendere questi risultati, un buon punto di partenza è leggere alcuni tutorial online sulla teoria del campionamento in cui il campionamento viene eseguito senza sostituzione ( semplice campionamento casuale ). Questo tutorial online sulle statistiche non parametriche ha un'illustrazione sul calcolo delle aspettative e della varianza per un totale.

Noterai che alcuni autori usano invece di nel denominatore dell'FPC; infatti, dipende dal fatto che lavori con il campione o la statistica della popolazione: per la varianza, sarà invece di se sei interessato a anziché a $N$ $N-1$ $N$ $N-1$ $S^2$ $\sigma^2$ .

Per quanto riguarda i riferimenti online, posso suggerirti

— CHL
fonte

Questa formula viene utilizzata per la popolazione finita, ma con sostituzione o senza sostituzione?

— skan

@skan senza sostituzione.

— Black Milk