Perché uno stimatore deve essere indipendente dal parametro?

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Questo è un estratto da "Moderne statistiche matematiche con applicazioni" di Devore et al. Ciò che mi confonde è che lo stimatore non può fare a meno di dipendere da , poiché il campione dipende dal parametro. $\theta$

estimation

— QED
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Hai ragione a dire che qualsiasi stimatore sensibile sarà una funzione (non costante) dei dati (tranne in alcuni casi speciali, probabilmente patologici, come il mio esempio qui ). Quindi, è corretto affermare che uno stimatore ragionevole dipende da attraverso la sua dipendenza dai dati. Ma sono abbastanza sicuro di tutto ciò che si intende per frase $\theta$

Mostra che è davvero uno stimatore - che è una funzione di che non dipende da $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

è che la formula per uno stimatore non può contenere il parametro. Questo per escludere cose come , che sarebbe uno stimatore perfetto (anche se non avessi dati !!) ma dovresti essere sensitivo per calcolarlo :-) $\hat{\theta} = \theta$

Come notato nel passaggio che hai incollato, poiché è una statistica sufficiente, la distribuzione di qualsiasi statistica, ad esempio , subordinata a , non dipenderà da . Pertanto, non può dipendere da , garantendo che avrà la proprietà in questione. $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

— macro
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+1 Questa domanda rivela un'interessante ambiguità nella lingua di questo (ben accolto, popolare) libro di testo: "dipendere da " potrebbe significare almeno tre cose distinte! (1) non appare esplicitamente nella formula. (2) Sebbene nella formula possa apparire , la formula è invariante rispetto alle modifiche a . (3) è vista come una variabile casuale (forse costante) e "dipendenza" potrebbe essere intesa nel senso di dipendenza da variabili casuali. Sfortunatamente, il tentativo di chiarimento ("la distribuzione ... non implica ") è troppo vago per aiutare molto.

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— whuber

Ciao @whuber - Non sono sicuro di cosa intendi con (2). Sto cercando di pensare a uno stimatore che ha quella proprietà. Vuoi dire che il modo in cui calcoli lo stimatore sarebbe lo stesso indipendentemente da ? Questo sembra essere equivalente a non appare nella formula. Altrimenti, avresti di nuovo bisogno di essere sensitivo per calcolare lo stimatore, giusto? Se intendevi invariante nel senso che il valore numerico dello stimatore rimane lo stesso indipendentemente dal valore allora questo non suona come un ottimo stimatore :-) Puoi chiarire?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Macro

È una differenza sottile, ma è reale. Come esempio banale, dopo aver osservato successi in IID prove binomiale con il parametro , ovviamente appare nel (ammissibile) stimatore " ", ma è comunque valido perché non varia con . Più sottilmente (e ancora banalmente) in un problema di campionamento normale iid, lo stimatore non coinvolge solo ma in realtà varia con esso - ma la possibilità che non sia costante è zero e è buono come loro.

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

— whuber

Immagino che mi manchi ancora il punto. Nel primo strumento di stima, , quindi cancella effettivamente l'espressione e sembra meglio scriverlo come . Penso che mi manchi davvero il punto con il secondo. Non vedo un dentro e sembra che poiché la probabilità che sia un numero intero è zero. Quindi, con probabilità , che non coinvolge . Probabilmente sono denso. Se è troppo lungo per un commento, forse potremmo farlo in chat qualche volta.

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

— Macro

Mi dispiace per l'errore di battitura: quel secondo stimatore avrebbe dovuto essere . La distinzione nel primo caso è tra una formula e i suoi valori. (A proposito, la tua equazione di con non è completamente corretta perché fallisce per , dove la mia formula non è definita.)

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

— whuber