Come trovare la distanza prevista tra due punti distribuiti uniformemente?

Se dovessi definire le coordinate e dove $(X_{1},Y_{1})$ $(X_{2},Y_{2})$

X_{1}, X_{2} \sim Unif (0, 30) and Y_{1}, Y_{2} \sim Unif (0, 40) .

$X_{1},X_{2} \sim \text{Unif}(0,30)\text{ and }Y_{1},Y_{2} \sim \text{Unif}(0,40).$

Come troverei il valore atteso della distanza tra loro?

Stavo pensando, poiché la distanza è calcolata da avrebbe il valore atteso essere solo? $\sqrt{(X_{1}-X_{2})^{2} + (Y_{1}-Y_{2})^{2}})$ $(1/30 + 1/30)^2 + (1/40+1/40)^2$

expected-value uniform distance

— Mathlete
fonte

Il codice LaTeX non è stato visualizzato correttamente. Spero che la mia soluzione sia quella che intendevi

— Peter Flom

Quasi, ma alla fine mi ha aiutato a raggiungerlo, molte grazie.

— Mathlete,

Domanda equivalente sul sito di matematica: distanza media tra punti casuali in un rettangolo . Una domanda correlata: probabilità che punti uniformemente casuali in un rettangolo abbiano una distanza euclidea inferiore a una determinata soglia . (Sfortunatamente, non ho mai avuto l'occasione di dare seguito a @whuber per i suoi suggerimenti lì. Cercherò di trovare un po 'di tempo per farlo.)

— cardinale

Grazie per quei link, @cardinal. Sebbene la versione matematica non spieghi la risposta - la presenta semplicemente - contiene collegamenti a una derivazione, che vale la pena rivedere.

— whuber

Risposte:

##problem
x <- runif(1000000,0,30)
y <- runif(1000000,0,40)
Uniform <- as.data.frame(cbind(x,y))
n <- nrow(Uniform)
catch <- rep(NA,n)
for (i in 2:n) {
      catch[i] <-((x[i+1]-x[i])^2 + (y[i+1]-y[i])^2)^.5
}
mean(catch, na.rm=TRUE)
18.35855

Se capisco correttamente cosa stai cercando, forse questo aiuta. Stai cercando di capire la distanza tra i punti casuali, i cui valori X sono generati da unif (0,30) e i valori Y sono generati da unif (0,40). Ho appena creato un milione di camper da ciascuno di questi alle distribuzioni e quindi ho associato x e y per creare un punto per ciascuno di essi. Quindi ho calcolato la distanza tra i punti 2 e 1 fino alla distanza tra i punti 1.000.000 e 999.999. La distanza media era 18.35855. Fammi sapere se questo non è quello che stavi cercando.

— Eric Peterson
fonte

Ha preso la libertà di modificare per la formattazione.

— curious_cat,

\frac{1}{108} (871 + 960 \log (2) + 405 \log (3))

$\frac{1}{108} (871+960 \log(2)+405 \log(3))$

18.345919 \dots

$18.345919\ldots$ n <- 10^7; distance <- sqrt((runif(n,0,30)-runif(n,0,30))^2 + (runif(n,0,40)-runif(n,0,40))^2)sd(distance) / sqrt(n)

@whuber: puoi spiegare il tuo numero 1? es. dire (Caso-I) che ho disegnato coppie di numeri casuali da una determinata distribuzione e calcolato differenze e ho preso una media. Contro (Caso II) ho continuato a disegnare un numero alla volta e ho continuato a calcolare le differenze di corsa rispetto all'ultimo numero estratto e quindi a fare la media. La media riportata da Case-I e Case-II sarebbe sistematicamente diversa?

— curious_cat,

@curious_cat No, le medie sarebbero più o meno le stesse: ma il calcolo dell'errore standard sarebbe diverso. Abbiamo bisogno di quel calcolo per stimare quanto è probabile che la media arrivi al valore reale. Invece di elaborare il calcolo SE più complicato, è più semplice generare coppie di punti completamente indipendenti l'una dall'altra, esattamente come previsto nella domanda. (Ci sono così tanti modi in cui una simulazione può andare storta - lo so per esperienza! - Che è saggio far simulare la realtà il più fedelmente possibile.)

— whuber

@whuber: Grazie per il chiarimento. Quindi, se Clark avesse eseguito il suo codice più a lungo, avrebbe potuto ottenere più decimali giusto?

— curious_cat,

$50$ $25$

$1$ $\lambda$ $\lambda = 40/30$ $30$ $(x,y)$ $\frac{1}{\lambda}dx dy$

\int_{0}^{λ} \int_{0}^{1} \int_{0}^{λ} \int_{0}^{1} \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} \frac{1}{λ} d x_{1} d y_{1} \frac{1}{λ} d x_{2} d y_{2} .

$\int_0^\lambda\int_0^1\int_0^\lambda\int_0^1 \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \frac{1}{\lambda}dx_1 dy_1 \frac{1}{\lambda} dx_2 dy_2.$

Utilizzando metodi di integrazione elementare questo è semplice ma doloroso da fare; Ho usato un sistema di algebra del computer ( Mathematica ) per ottenere la risposta

[2 + 2 λ^{5} - 2 \sqrt{1 + λ^{2}} + 6 λ^{2} \sqrt{1 + λ^{2}} - 2 λ^{4} \sqrt{1 + λ^{2}} + 5 λ ArcSinh (λ) + 5 λ^{4} \log (\frac{1 + \sqrt{1 + λ^{2}}}{λ})] / (30 λ^{2}) .

$[2+2 \lambda ^5-2 \sqrt{1+\lambda ^2}+6 \lambda ^2 \sqrt{1+\lambda ^2}-2 \lambda ^4 \sqrt{1+\lambda ^2} +5 \lambda \text{ArcSinh}(\lambda)+5 \lambda ^4 \log\left(\frac{1+\sqrt{1+\lambda ^2}}{\lambda }\right)]/(30\lambda^2).$

$\sqrt{1+\lambda^2}$ $30$ $30$ $40$

$\lambda=4/3$ $30$ $\frac{1}{108} (871+960 \log(2)+405 \log(3)) \approx 18.345919\ldots$

$\sqrt{1+\lambda^2}$ $\lambda$ $0$ $1$ $\lambda$ $1/\lambda$ $\lambda$ $\lambda=1$

Tracciare

$1/3 \approx 0.33$ $0.37$ $3:1$

— whuber
fonte

Dovrebbe essere "diagonale" anziché "diametro"? Scusami se sto puntando il dito.

— curious_cat,

@curious_cat Per definizione, il diametro di un insieme di punti (in qualsiasi spazio metrico) è il supremo delle distanze tra due punti qualsiasi in esso. Per un rettangolo è (ovviamente) la lunghezza di una diagonale.

— whuber

Grazie! Non me ne sono reso conto. Stavo usando un concetto ingenuo di diametro.

— curious_cat,

A parte: per tutti i rettangoli di una determinata area la distanza media sarebbe minimizzata per un quadrato?

— curious_cat,

Nello spirito di questo , vorrei che avessi iniziato questa risposta con "È l' aereo ..." (+1)

— cardinale