Varianza di due variabili casuali ponderate

Permettere:

Deviazione standard della variabile casuale$A =\sigma_{1}=5$

Deviazione standard della variabile casuale$B=\sigma_{2}=4$

Quindi la varianza di A + B è:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Dove:

$p_{1,2}$ è la correlazione tra le due variabili casuali.

$w_{1}$ è il peso della variabile casuale A

$w_{2}$ è il peso della variabile casuale B

$w_{1}+w_{2}=1$

La figura seguente mostra la varianza di A e B quando il peso di A cambia da 0 a 1, per le correlazioni -1 (giallo), 0 (blu) e 1 (rosso).

In che modo la formula ha prodotto una linea retta (rossa) quando la correlazione è 1? Per quanto posso dire, quando , la formula si semplifica a:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Come posso esprimerlo nella forma di ?$y=mx+c$

Grazie.

Utilizzando , calcola$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

Ciò dimostra che quando , il grafico della varianza rispetto a (mostrato lateralmente nell'illustrazione) è una parabola centrata su . Nessuna porzione di parabola è lineare. Con e , il centro è a : molto al di sotto del grafico nella scala in cui viene disegnato. Quindi, stai guardando un piccolo pezzo di una parabola, che apparirà lineare.$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

Quando , la varianza è una funzione lineare di . In questo caso la trama sarebbe un segmento di linea perfettamente verticale.w $\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

A proposito, sapevi già questa risposta, senza calcolo, perché i principi di base implicano che il diagramma della varianza non può essere una linea a meno che non sia verticale. Dopotutto, non vi è alcun divieto matematico o statistico a limitare tra e : qualsiasi valore di determina una nuova variabile casuale (una combinazione lineare delle variabili casuali A e B) e quindi deve avere un valore non negativo per la sua varianza. Pertanto tutte queste curve (anche se estese all'intera gamma verticale di ) devono trovarsi a destra dell'asse verticale. Ciò preclude tutte le linee tranne quelle verticali. 0 1 w 1 w $w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

Grafico della varianza per :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

Non è lineare La formula dice che non è lineare. Fidati del tuo istinto matematico!

Appare lineare nel grafico a causa della scala, con e . Provalo tu stesso: calcola le piste in alcuni punti e vedrai che differiscono. Puoi esagerare la differenza selezionando , diciamo.σ 2 = 4 σ 1 = $\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Ecco qualche codice R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Se desideri controllare alcune piste:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1