Matrice di covarianza per il processo gaussiano e la distribuzione di Wishart

Sto leggendo questo documento sui processi generalizzati di Wishart (GWP). L'articolo calcola le covarianze tra diverse variabili casuali (seguendo il processo gaussiano ) usando la funzione di covarianza esponenziale quadrata, ovvero . Dice quindi che questa matrice di covarianza segue GWP. $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

Pensavo che una matrice di covarianza calcolata dalla funzione di covarianza lineare ( ) $K(x,x') = x^Tx'$ , segua Wishart Distribution con parametri appropriati.

La mia domanda è: come possiamo ancora supporre che la covarianza segua una distribuzione di Wishart con funzione di covarianza esponenziale quadrata? Inoltre, in generale, qual è la condizione necessaria per una funzione di covarianza per produrre una matrice di covarianza distribuita da Wishart?

— steadyfish
fonte

Ciò che è confuso è la specifica di covarianza in termini di spazio ambientale su cui è definito il processo gaussiano e l'operazione che trasforma una variabile casuale gaussiana di dimensioni finite per produrre una distribuzione di Wishart.

Se è una variabile casuale gaussiana dimensionale (un vettore di colonna) con media 0 e matrice di covarianza , la distribuzione di è una distribuzione Wishart . Nota che è una matrice . Questo è un risultato generale su come la forma quadratica trasforma una distribuzione gaussiana in una distribuzione di Wishart. Vale per qualsiasi scelta di matrice di covarianza definita positiva . Se hai le osservazioni $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$ quindi con la distribuzione di è un Wishart -distribuzione. Dividendo per otteniamo la matrice empirica di covarianza una stima di .

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Per i processi gaussiani esiste uno spazio ambiente, diciamo per esempio che è , in modo tale che le variabili casuali considerate siano indicizzate da elementi nello spazio ambiente. Cioè, consideriamo un processo . È gaussiano (e per semplicità, qui con media 0) se le sue distribuzioni marginali di dimensione finita sono gaussiane, ovvero se per tutti . La scelta della funzione di covarianza , come menzionato dall'OP, determina la matrice di covarianza, ovvero $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$ Ignorando la scelta di la distribuzione di sarà un Wishart -distribuzione.

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
fonte

Grazie per aver risposto. Ho qualche domanda, reg. la tua risposta: quando dici che la trasformazione che trasforma la dist gaussiana in dist di Wishart vale per qualsiasi scelta della matrice cov + ve definita, quali scelte diff abbiamo per questa matrice cov? Inoltre, solo per chiarire - per la matrice cov definita dalla funzione cov, iej indicano elementi nello spazio ambientale del processo gaussiano (ad esempio se si tratta di un processo temporale, istanti di tempo t_1 e t_2)?

— steadyfish

@steadyfish, sì, gli indici e richiamare le linee e nello spazio ambiente, e per un processo temporale di due punti di tempo. Le matrici di covarianza sono sempre positive (semi) definite. La formulazione non intendeva limitare il risultato in alcun modo, ma piuttosto sottolineare che vale per qualsiasi scelta di fintanto che è una matrice di covarianza. Ho lasciato fuori la possibilità che possa essere solo semidefinito per evitare di ingombrare la risposta con problemi irrilevanti su singole distribuzioni normali ecc.

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

— NRH

Grazie @NRH. Capisco lo spazio ambientale. Per quanto riguarda la matrice di covarianza, la mia domanda era se esiste un altro modo per definire la matrice di covarianza oltre a (e non sulla proprietà semidefinita definita positiva o positiva). (Spero che la domanda sia chiara questa volta!)

x^{T} x

$x^{T}x$

— steadyfish

@steadyfish, oh, capisco. In effetti, ero sciatto con le trasposizioni e se i vettori erano vettori di riga o colonna. L'ho chiarito ora e ho aggiunto qualcosa sulla relazione tra la matrice di covarianza empirica e la matrice di covarianza teorica. Il teorico non è definito in termini di osservazioni.

— NRH,