Ciò che è confuso è la specifica di covarianza in termini di spazio ambientale su cui è definito il processo gaussiano e l'operazione che trasforma una variabile casuale gaussiana di dimensioni finite per produrre una distribuzione di Wishart.
Se è una variabile casuale gaussiana dimensionale (un vettore di colonna) con media 0 e matrice di covarianza , la distribuzione di è una distribuzione Wishart . Nota che è una matrice . Questo è un risultato generale su come la forma quadratica
trasforma una distribuzione gaussiana in una distribuzione di Wishart. Vale per qualsiasi scelta di matrice di covarianza definita positiva . Se hai le osservazioniX∼N(0,Σ)pΣW=XXTWp(Σ,1)Wp×p
x↦xxT
ΣX1,…,Xnquindi con la distribuzione di
è un Wishart -distribuzione. Dividendo per otteniamo la matrice empirica di covarianza una stima di .
Wi=XiXTiW1+…+Wn
Wp(Σ,n)n−Σ
Per i processi gaussiani esiste uno spazio ambiente, diciamo per esempio che è , in modo tale che le variabili casuali considerate siano indicizzate da elementi nello spazio ambiente. Cioè, consideriamo un processo . È gaussiano (e per semplicità, qui con media 0) se le sue distribuzioni marginali di dimensione finita sono gaussiane, ovvero se
per tutti . La scelta della funzione di covarianza , come menzionato dall'OP, determina la matrice di covarianza, ovvero
R(X(x))x∈R
X(x1,…,xp):=(X(x1),…,X(xp))T∼N(0,Σ(x1,…,xp))
x1,…,xp∈Rcov(X(xi),X(xj))=Σ(x1,…,xp)i,j=K(xi,xj).
Ignorando la scelta di la distribuzione di
sarà un Wishart -distribuzione.
KX(x1,…,xp)X(x1,…,xp)T
Wp(Σ(x1,…,xp),1)