Test di Wald in regressione (OLS e GLM): distribuzione t- vs. z

Comprendo che il test Wald per i coefficienti di regressione si basa sulla seguente proprietà che detiene asintoticamente (ad esempio Wasserman (2006): All of Statistics , pagine 153, 214-215): Dove indica il coefficiente di regressione stimato, indica l'errore standard del coefficiente di regressione e è il valore di interesse ( è di solito 0 per verificare se il coefficiente è significativamente diverso da 0). Quindi il test size Wald è: rifiuta quandoβ^SE(β)β0β0αH0| W| >zα/

$$\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$ $\hat{\beta}$$\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})$$\beta_{0}$$\beta_{0}$$\alpha$$H_{0}$$|W|> z_{\alpha/2}$ dove $$W=\frac{\hat{\beta}}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}.$$

Ma quando si esegue una regressione lineare con lmin R, viene utilizzato un valore $t$ anziché un valore $z$ per verificare se i coefficienti di regressione differiscono significativamente da 0 (con summary.lm). Inoltre, l'output di glmin R talvolta fornisce $z$ - e talvolta $t$ valori come statistiche di test. Apparentemente, i valori $z$ vengono utilizzati quando si presume che il parametro di dispersione sia noto e $t$ valori t vengono utilizzati quando viene stimato il parametro di dispersione (vedere questo collegamento ).

Qualcuno potrebbe spiegare, perché a volte una distribuzione $t$ viene utilizzata per un test Wald anche se si presume che il rapporto tra il coefficiente e il suo errore standard sia distribuito come normale?

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L'output glmdell'utilizzo di una distribuzione di Poisson fornisce un valore perché con una distribuzione di Poisson, i parametri media e varianza sono gli stessi. Nel modello di Poisson, devi solo stimare un singolo parametro ( ). In una dove si deve stimare sia un mezzo e parametro di dispersione, si dovrebbe vedere la -distribuzione utilizzato.λ $z$$\lambda$glm$t$

Per una regressione lineare standard, si presuppone che il termine di errore sia normalmente distribuito. Qui, il parametro varianza deve essere stimato - da qui l'uso della distribuzione per la statistica test. Se in qualche modo conoscessi la varianza della popolazione per il termine di errore, puoi invece utilizzare una statistica -test.$t$$z$

Come accennato nel tuo post, la distribuzione del test è asintoticamente normale. La distribuzione è asintoticamente normale, quindi in un campione ampio la differenza sarebbe trascurabile.$t$

Nel framework GLM, in generale, la statistica del test W che hai citato è distribuita asintoticamente normale , ecco perché vedi in R i valori z .

Inoltre, quando si ha a che fare con un modello lineare, ovvero un GLM con una variabile di risposta distribuita normale, la distribuzione della statistica di test è una t di Student , quindi in R si hanno valori t .