Qual è l'ipotesi NULL per l'interazione in un ANOVA a due vie?

Diciamo che abbiamo due fattori (A e B), ciascuno con due livelli (A1, A2 e B1, B2) e una variabile di risposta (y).

Quando si esegue un ANOVA a due vie del tipo:

y~A+B+A*B

Stiamo testando tre ipotesi nulle:

1. Non vi è alcuna differenza nei mezzi del fattore A
2. Non vi è alcuna differenza nelle medie del fattore B
3. Non c'è interazione tra i fattori A e B

Se scritte, le prime due ipotesi sono facili da formulare (per 1 è $H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$ )

Ma come si dovrebbe formulare l'ipotesi 3?

modifica : e come verrebbe formulato per il caso di più di due livelli?

Grazie.

Penso che sia importante separare chiaramente l'ipotesi e il test corrispondente. Per quanto segue, presumo un design CRF- equilibrato tra soggetti (dimensioni delle celle uguali, notazione di Kirk: disegno fattoriale completamente randomizzato).$pq$

è l'osservazione i nel trattamento j del fattore A e nel trattamento k del fattore B con 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p e 1 ≤ k ≤ q . Il modello è Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$Y_{ijk}$$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Disegno: B 1 ... B k ... B q A 1 μ 11 ... μ 1 k ... μ 1 q μ 1. ... ... ... ... ... ... ... A j μ j 1 ... μ j k ... μ j q μ j . ... ... ... ... ... ... ... A p μ p 1 ... μ$\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

è il valore atteso nella cella j k , ϵ i ( j k ) è l'errore associato alla misurazione della persona i in quella cella. Lanotazione ( ) indica che gli indici j k sono fissi per una data persona i perché quella persona è osservata in una sola condizione. Alcune definizioni per gli effetti:$\mu_{jk}$$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

(valore medio atteso per il trattamentojdel fattoreA)$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$$j$$A$

(valore medio atteso per il trattamentokdel fattoreB)$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$$k$$B$

(effetto del trattamento j del fattore A , ∑ p j = 1 α j = 0 )$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$$j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

(effetto del trattamento k del fattore B , ∑ q k = 1 β k = 0 )$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$$k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

(effetto di interazione per la combinazione del trattamento j del fattore A con il trattamento k del fattore B , ∑ p j = 1 ( α β ) j k$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

(effetto principale condizionale per il trattamento j del fattore A nell'ambito del trattamento fisso k del fattore B , ∑ p j = 1 α ( k ) j = $\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(conditional main effect for treatment $k$ of factor $B$ within fixed treatment $j$ of factor $A$, $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (all individual interaction terms are $0$, such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$. This is essentially Dason's answer.)

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$.)

4. $H_{0_{I}}$: In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$-axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$