Domanda sulla funzione di autocovarianza del campione

Sto leggendo un libro di analisi delle serie temporali e la formula per la campionatura automatica è definita nel libro come:

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

conper . $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ $\;h = 0,1, ..., n-1$ $\bar{x}$ è la media.

Qualcuno può spiegare intuitivamente perché dividiamo la somma per $n$ e non per $n-h$ ? Il libro spiega che questo è perché la formula sopra è una funzione definita non negativa e quindi si preferisce dividere per $n$ , ma questo non è chiaro per me. Qualcuno può forse dimostrarlo o mostrare un esempio o qualcosa del genere?

Per me la cosa intuitiva all'inizio sarebbe quella di dividere per $n-h$ . È uno stimatore imparziale o parziale di autocovarianza?

time-series probability mathematical-statistics

— jjepsuomi
fonte

Se le tue serie temporali sono esattamente

con tutte le altre

sconosciute, la somma deve necessariamente fermarsi a

quando

si verifica nella somma: il termine successivo (per

), che dovrebbe essere incluso nella somma avrebbe

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

x_{i}

$x_i$

i < 1

$i < 1$

i > n

$i >n$

t = n - h

$t=n-h$

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$

t = n - h + 1

$t=n-h+1$

in esso e

non fa parte del campione.

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

— Dilip Sarwate

@Dilip Io non credo che sia il problema: la questione riguarda se dividere per

nella definizione di

n

$n$

n - h

$n-h$

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$

— whuber

viene utilizzato per creare covarianza matrici: trovati "tempi", si stima che la covarianza del vettore casuale(ottenuto dalla campo aleatorio a quei tempi) è la matrice $\widehat{\gamma}$ $t_1, t_2, \ldots, t_k$ $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$ . Per molti problemi, come la previsione, è fondamentale che tutte queste matrici siano non singolari. Come matrici di covarianza putativa, ovviamente non possono avere autovalori negativi, per cui devono essere tutti definiti positivi.

La situazione più semplice in cui la distinzione tra le due formule

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

{\hat{γ}}_{0} (h) = (n - h)^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

appare quando ha lunghezza ; ad esempio, . Per e è semplice da calcolare $x$ $2$ $x = (0,1)$ $t_1=t$ $t_2 = t+1$

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

che è singolare, mentre

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

che ha autovalori e , onde è definita positiva. $3/8$ $1/8$

Un fenomeno analogo avviene per , dove è definita positiva ma --quando applicata ai tempi , dire- -degenerates in una matrice di rango (le voci si alternano tra e ). $x = (0,1,0,1)$ $\widehat{\gamma}$ $\widehat{\gamma}_0$ $t_i = (1,2,3,4)$ $1$ $1/4$ $-1/4$

$x$ $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$

$x_t$ $h$ $n$ $n^{-1}$ $(n-h)^{-1}$

— whuber
fonte

Penso che sia importante notare che entrambi gli stimatori sono stimatori distorti, anche se lo dividi per nh.

— Ha funzionato il

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$

h

$h$

n

$n$

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

\forall h

$\forall h$