Buone risorse (online o di libri) sui fondamenti matematici delle statistiche

Prima di porre la mia domanda, lascia che ti dia un po 'di informazioni su ciò che so sulle statistiche in modo da avere una migliore percezione dei tipi di risorse che sto cercando.

Sono uno studente laureato in psicologia e, come tale, utilizzo le statistiche quasi ogni giorno. Ormai ho familiarità con una vasta gamma di tecniche, soprattutto perché sono implementate nel quadro generale di modellizzazione delle equazioni strutturali. Tuttavia, la mia formazione è stata sull'uso di queste tecniche e sull'interpretazione dei risultati - non ho molta conoscenza dei fondamenti matematici formali di queste tecniche.

Tuttavia, sempre più spesso, ho dovuto leggere articoli dalle statistiche proprie. Ho scoperto che questi articoli spesso assumono una conoscenza pratica di concetti matematici di cui non so molto, come l'algebra lineare. Mi sono quindi convinto che se desidero fare qualcosa di più che usare ciecamente gli strumenti che mi sono stati insegnati, sarebbe utile per me imparare alcune delle basi matematiche della statistica.

Quindi, ho due domande correlate:

1. Quali tecniche matematiche sarebbero utili per me sapere se voglio rispolverare le basi matematiche della statistica? Ho incontrato abbastanza spesso l'algebra lineare e sono sicuro che l'apprendimento della teoria della probabilità sarebbe utile, ma ci sono altre aree matematiche che potrebbero essere utili per me?
2. Quali risorse (online o in forma di libro) mi puoi consigliare come qualcuno che vuole saperne di più sulle basi matematiche della statistica?

Matematica:

Grinstead & Snell, Introduzione alla probabilità (è gratuito)

Strang, Introduzione all'algebra lineare

Strang, Calculus

Dai un'occhiata anche a Strang su MIT OpenCourseWare.

Teoria statistica (è più di una semplice matematica):

Cox, Principi di inferenza statistica

Cox & Hinkley, Statistica teorica

Geisser, modalità di inferenza statistica parametrica

E io secondo @ Andre's Casella & Berger.

Alcuni importanti argomenti di statistica matematica sono:

• Famiglia esponenziale e sufficienza.
• Costruzione dello stimatore.
• Controllo di un'ipotesi.

Riferimenti riguardanti le statistiche matematiche:

• Mood, AM, Graybill, FA e Boes, DC (1974). Introduzione alla teoria della statistica. (BC Harrinson e M. Eichberg, Eds.) (3a ed., P. 564). McGraw-Hill, Inc.

• Casella, G., & Berger, RL (2002). Inferenza statistica. (C. Crockett, Ed.) (2a ed., P. 657). Pacific Grove, CA: Wadsworth Group, Thomson Learning Inc.

Dai un'occhiata al Bootcamp sulla biostatica matematica a Coursera https://www.coursera.org/#course/biostats .

Il SEM è (a mio avviso) molto lontano dalla teoria della probabilità tradizionale e da alcune tecniche statistiche di base che si estendono facilmente da esso (come la stima puntuale, la teoria dei grandi campioni e le statistiche bayesiane). Penso che SEM sia il risultato di una grande quantità di astrazione da tali metodi. Penso inoltre che il motivo per cui tali astrazioni erano necessarie era a causa della schiacciante richiesta di comprendere meglio l' inferenza causale .

Penso che un libro che sarebbe perfetto per qualcuno del tuo background sarebbe la causalità della Judea Pearl . Questo libro affronta in modo specifico le statistiche SEM e multivariate, sviluppa una teoria di causalità e inferenza ed è molto filosoficamente valido. Non è un libro matematico, ma attinge fortemente dalla logica e dai controfattuali e sviluppa un linguaggio molto preciso per difendere i modelli statistici.

Posso dire da un background matematico che questi risultati sono molto solidi e non richiedono una comprensione approfondita del calcolo. Penso anche che non sia realistico per qualcuno del tuo pedigree raggiungere la matematica necessaria quando sei già uno studente laureato, ecco perché ci sono statistici!