Teorema di Gauss-Markov: BLU e OLS

Sto leggendo il teorema di Guass-Markov su Wikipedia , e speravo che qualcuno potesse aiutarmi a capire il punto principale del teorema.

Supponiamo che un modello lineare, in forma di matrice, sia dato da: e stiamo cercando il BLU, .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

In base a ciò , il "residuo" e l '"errore". (Vale a dire l'opposto dell'uso nella pagina Gauss-Markov).$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

Lo stimatore OLS (minimi quadrati ordinari) può essere derivato come argmin di .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Ora, denota l'operatore delle aspettative. A quanto ho capito, ciò che il teorema di Gauss-Markov ci dice è che, se e , allora l'argmin, sopra tutto stimatori lineari e imparziali di è dato dalla stessa espressione del Stimatore OLS.$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

dire

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

La mia comprensione è corretta? E in tal caso, diresti che merita maggiore enfasi nell'articolo?

Non sono sicuro di aver capito correttamente la tua domanda, ma se stai cercando di dimostrare che l'OLS per è BLU (il miglior stimatore lineare imparziale) devi provare le due cose seguenti: Innanzitutto è imparziale e secondo che è il più piccolo tra tutti gli stimatori imparziali lineari.$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

La prova che lo stimatore OLS è imparziale è disponibile qui http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

e la prova che è il più piccolo tra tutti gli stimatori imparziali lineari può essere trovato qui http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/$Var(\hat{\beta})$

Sembra che il mio sospetto fosse effettivamente corretto, come confermato, ad esempio a pagina 375 del libro Introduzione all'economia . Estratto pertinente: