Numero previsto di duplicati (triplicati ecc.) Quando si disegna con una sostituzione

Ho il seguente problema:

Ho 100 articoli unici (n) e ne seleziono 43 (m) uno alla volta (con sostituzione).

Devo risolvere per il numero atteso di uniques (selezionato solo una volta, k = 1), double (selezionato esattamente due volte k = 2), tripli (esattamente k = 3), quad ecc ...

Sono stato in grado di trovare molti risultati sulla probabilità che ci sia almeno un doppio (paradosso del compleanno), ma non sul numero atteso di coppie nella popolazione.

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K
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Una stima di Monte Carlo ti sarebbe utile o hai bisogno di una risposta in forma chiusa?

— David J. Harris,

Preferirei una formula in forma chiusa in modo da poterla facilmente applicare a diversi valori di n, m e k.

— Kaitlyn K,

L' verrà selezionato volte. Da questo, puoi trovare tutte le quantità che desideri, perché, ad esempio, Ad esempio, il numero previsto di coppie è dato da $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

È possibile ottenere il valore numerico in R con il comando n * dbinom (k, m, 1 / n).

— Stefan Wager
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Quella formula può essere usata per ak = 0 o 1?

— Kaitlyn K,

Sì, può. Con k = 0, puoi interpretarlo come "quanti punti non appariranno tra i m selezionati".

— Stefan Wager,

Ma questi eventi non sono indipendenti. Ad esempio, quando l'elemento 1 appare m volte, quindi nessun altro elemento potrà mai apparire. Non puoi semplicemente sommare le P.

— asterix314,