Statistiche: relazione tra Alpha e Beta

La mia domanda ha a che fare con la relazione tra alfa e beta e le loro definizioni nelle statistiche.

alfa = tasso di errore di tipo I = livello di significatività in considerazione del fatto che l'ipotesi NULL è corretta

Beta = tasso di errore di tipo II

Se l'alfa viene ridotta (la specificità aumenta con l'alfa = 1- specificità), la beta aumenta (la sensibilità / potenza diminuisce con la beta = 1 - sensibilità / potenza)

In che modo una modifica dell'alfa influisce sulla beta? C'è una relazione lineare o no? Il rapporto alfa / beta è sempre lo stesso, in altre parole la specificità / sensibilità del rapporto è sempre la stessa? Se sì, significa che usando una correzione bonferroni ci stiamo semplicemente spostando verso una sensibilità inferiore e una specificità superiore, ma non stiamo cambiando il rapporto sensibilità / specificità. È corretto dirlo?

Aggiornamento (domanda specifica del caso):

Per un determinato progetto sperimentale, eseguiamo 5 modelli lineari sui dati. Abbiamo un tasso positivo reale (sensibilità / potenza) a 0,8 e un tasso negativo reale (specificità) a 0,7. (Immaginiamo di sapere cosa dovrebbe essere positivo e cosa non dovrebbe.). Se ora correggiamo il livello di significatività usando Bonferroni a 0,05 / 5 = 0,01. Possiamo stimare numericamente il tasso positivo positivo risultante (sensibilità / potenza) e il tasso negativo reale (specificità)?

Grazie mille per il vostro aiuto.

$\alpha$$\beta$

Esistono quattro possibilità che possono verificarsi:

1. una persona malata è correttamente identificata come malata (vero positivo = TP)
2. una persona malata è falsamente classificata come sana (falso negativo = FN)
3. una persona sana è correttamente identificata come sana (vero negativo = TN)
4. una persona in buona salute è erroneamente classificata come malata (falso positivo = FP)

Queste possibilità possono essere illustrate con una tabella 2x2 :

               Sick Healthy
Test positive   TP     FP
Test negative   FN     TN

$\alpha$$\alpha = FP/(FP + TN)$$\beta$$\beta = FN/(TP + FN)$R

alphabeta <- function(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=130, sd.healthy=10, cutoff=120, n=10000, side="below", do.plot=TRUE) {

  popsick <- rnorm(n, mean=mean.sick, sd=sd.sick)
  pophealthy <- rnorm(n, mean=mean.healthy, sd=sd.healthy)

  if ( side == "below" ) {

    truepos <- length(popsick[popsick <= cutoff])
    falsepos <- length(pophealthy[pophealthy <= cutoff])
    trueneg <- length(pophealthy[pophealthy > cutoff])
    falseneg <- length(popsick[popsick > cutoff])

  } else if ( side == "above" ) {

    truepos <- length(popsick[popsick >= cutoff])
    falsepos <- length(pophealthy[pophealthy >= cutoff])
    trueneg <- length(pophealthy[pophealthy < cutoff])
    falseneg <- length(popsick[popsick < cutoff])

  }

  twotable <- matrix(c(truepos, falsepos, falseneg, trueneg), 2, 2, byrow=T)
  rownames(twotable) <- c("Test positive", "Test negative")
  colnames(twotable) <- c("Sick", "Healthy")

  spec <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[1,2])
  alpha <- 1 - spec
  sens <- pow <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[2,1])
  beta <- 1 - sens

  pos.pred <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[1,2])
  neg.pred <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[2,1])


  if ( do.plot == TRUE ) {

    dsick <- density(popsick)
    dhealthy <- density(pophealthy)

    par(mar=c(5.5, 4, 0.5, 0.5))
    plot(range(c(dsick$x, dhealthy$x)), range(c(c(dsick$y, dhealthy$y))), type = "n", xlab="", ylab="", axes=FALSE)
    box()
    axis(1, at=mean(pophealthy), lab=substitute(mu[H[0]]~paste("=",m, sep=""), list(m=mean.healthy)), cex.axis=1.5,tck=0.02)
    axis(1, at=mean(popsick), lab=substitute(mu[H[1]]~paste("=",m, sep=""), list(m=mean.sick)), cex.axis=1.5, tck=0.02)                                        
    axis(1, at=cutoff, lab=substitute(italic(paste("Cutoff=",coff, sep="")), list(coff=cutoff)), pos=-0.004, tick=FALSE, cex.axis=1.25)
    lines(dhealthy, col = "steelblue", lwd=2)

    if ( side == "below" ) {
      polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x<=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x<=cutoff],0), col = "grey65")
    } else if ( side == "above" ) {
      polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x>=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x>=cutoff],0), col = "grey65")
    }

    lines(dsick, col = "red", lwd=2)

    if ( side == "below" ) {
      polygon(c(cutoff,dsick$x[dsick$x>cutoff],cutoff),c(0,dsick$y[dsick$x>cutoff],0) , col="grey90")
    } else if ( side == "above" ) {
      polygon(c(cutoff,dsick$x[dsick$x<=cutoff],cutoff),c(0,dsick$y[dsick$x<=cutoff],0) , col="grey90")
    }

    legend("topleft",
           legend=(c(as.expression(substitute(alpha~paste("=", a), list(a=round(alpha,3)))), 
                     as.expression(substitute(beta~paste("=", b), list(b=round(beta,3)))))), fill=c("grey65", "grey90"), cex=1.2, bty="n")
    abline(v=mean(popsick), lty=3)
    abline(v=mean(pophealthy), lty=3)
    abline(v=cutoff, lty=1, lwd=1.5)
    abline(h=0)

  }

  #list(specificity=spec, sensitivity=sens, alpha=alpha, beta=beta, power=pow, positiv.predictive=pos.pred, negative.predictive=neg.pred)

  c(alpha, beta)

}

Diamo un'occhiata a un esempio. Partiamo dal presupposto che il livello medio del marcatore di sangue tra i malati è 100 con una deviazione standard di 10. Tra le persone sane, il livello medio di sangue è 140 con una deviazione standard di 15. Il medico imposta il valore soglia a 120.

alphabeta(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, cutoff=120, n=100000, do.plot=TRUE, side="below")

              Sick Healthy
Test positive 9764     901
Test negative  236    9099

$\alpha = 901/(901+ 9099) \approx 0.09$$\beta = 236/(236 + 9764)\approx 0.024$

              Sick Healthy
Test positive 6909      90
Test negative 3091    9910

$\alpha$$\beta$

$\alpha$$\beta$

cutoffs <- seq(0, 200, by=0.1)
cutoff.grid <- expand.grid(cutoffs)

plot.frame <- apply(cutoff.grid, MARGIN=1, FUN=alphabeta, mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, n=100000, do.plot=FALSE, side="below")

plot(plot.frame[1,]~cutoffs, type="l", las=1, xlab="Cutoff value", ylab="Alpha/Beta", lwd=2, cex.axis=1.5, cex.lab=1.2)
lines(plot.frame[2,]~cutoffs, col="steelblue", lty=2, lwd=2)
legend("topleft", legend=c(expression(alpha), expression(beta)), lwd=c(2,2),lty=c(1,2), col=c("black", "steelblue"), bty="n", cex=1.2)

$\alpha$$\beta$

Qui abbiamo un test "perfetto", nel senso che il taglio di 150 discrimina i malati dai sani.

Aggiustamenti Bonferroni

$\alpha$$\beta$$\beta$$0.02$$0.31$$\alpha$$0.09$$0.01$

Per gli altri in futuro:

Nella stima della dimensione del campione, lo Ztotal viene calcolato aggiungendo la Z corrispondente ad alfa e Z corrispondente alla potenza (1-beta). Quindi matematicamente, se la dimensione del campione viene mantenuta costante, aumentando Z per l'alfa significa che diminuisci la Z per potenza della stessa quantità, ad es. Aumentare Zalpha da 0,05 a 0,1 diminuisce Zpower di 0,05.

La differenza è che la Z per l'alfa è a due code mentre la Z per la beta è a 1 coda. Pertanto, mentre il valore Z cambia dello stesso importo, ma la probabilità% a cui corrisponde questo valore Z non cambia dello stesso importo.

Esempio:

Il 5% alfa (affidabilità del 95%) con una potenza dell'80% (20% beta) fornisce le stesse dimensioni del campione

20% alfa (80% di confidenza) con 93,6% di potenza (6,4% beta) anziché 95% di potenza che avremmo se la relazione fosse 1: 1.

Non esiste una relazione generale tra alfa e beta.

Tutto dipende dal tuo test, prendi il semplice esempio:

(Wikipedia)

Nell'uso colloquiale di tipo I l'errore può essere considerato come "la condanna di una persona innocente" e l'errore di tipo II "la liberazione di un colpevole".

Una giuria può essere severa: nessun errore di tipo II, un certo tipo I Una giuria può essere "gentile": nessun tipo I ma un certo tipo II Una giuria può essere normale: un certo tipo I e un certo tipo II Una giuria può essere perfetta: nessun errore

In pratica ci sono due effetti antagonisti:

Quando la qualità del test aumenta, il tipo I e l'errore di tipo II diminuiscono fino a un certo punto. Quando una giuria migliora, tende a dare un giudizio migliore su persone innocenti e colpevoli.

Dopo qualche punto il problema sottostante appare nella costruzione del test. Tipo I o II sono più importanti per chi esegue il test. Con l'esempio della giuria, gli errori di tipo I sono più importanti e quindi il processo legale è costruito per evitare il tipo I. In caso di dubbio, la persona è libera. Intuitivamente ciò ha comportato una crescita dell'errore di tipo II.

Per quanto riguarda Bonferroni:

(Di nuovo Wikipedia)

La correzione di Bonferroni controlla solo la probabilità di falsi positivi. La correzione di solito ha il costo di aumentare la probabilità di produrre falsi negativi e di conseguenza ridurre il potere statistico. Quando si verificano numerose ipotesi, ciò può comportare valori critici elevati.