Il lemma di Neyman-Pearson può essere applicato al caso in cui il semplice null e l'alternativa non appartengono alla stessa famiglia di distribuzioni?

Il lemma di Neyman-Pearson può essere applicato al caso in cui un semplice null e una semplice alternativa non appartengono alla stessa famiglia di distribuzioni? Dalla sua prova, non vedo perché non possa.

Ad esempio, quando il semplice null è una distribuzione normale e la semplice alternativa è una distribuzione esponenziale.
Il test del rapporto di verosimiglianza è un buon modo per testare un nullo composito rispetto a un'alternativa composita quando entrambi appartengono a diverse famiglie di distribuzioni?

Grazie e saluti!

hypothesis-testing mathematical-statistics

— Tim
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Questa è una buona domanda.

— Glen_b

Come dici nella domanda, la prova non fa ipotesi sulla forma delle due distribuzioni. Fidati della matematica.

— Ciano,

@Cyan: Il test del rapporto di verosimiglianza è un buon metodo per alternative composite nulle e composite che appartengono a diverse famiglie di distribuzioni?

— Tim

Per chiarire il mio precedente commento: spesso vedo la gente dire "no" - anzi sembra persino nei documenti : - "[Test di verosimiglianza] ... non può essere usato per fare inferenze sulla forma funzionale della distribuzione dei dati. " Sarebbe bello se tali affermazioni non fossero così spesso lasciate senza risposta.

— Glen_b -Restate Monica

Questo è un non-domanda perché qualsiasi due distribuzioni distinte

sono parte di un continuo famiglia a un parametro

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

Risposte:

Sì, Neyman Pearson Lemma può rivolgersi al caso in cui un'alternativa semplice nulla e semplice non appartengono alla stessa famiglia di distribuzioni.

Vogliamo costruire un test più potente (MP) di contro $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$ delle sue dimensioni.

Per una particolare , la nostra funzione critica del lemma di Neyman Pearson è $k$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} > k \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

è un test MP di contro delle sue dimensioni. $H_0$ $H_1$

Qui

r (X) = \frac{f_{1} (X)}{f_{0} (X)} = \frac{e^{- X}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- X^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} e^{(\frac{X^{2}}{2} - X)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

Nota che Ora, se disegni l'immagine di[Non so come costruire un'immagine in risposta], dal grafico sarà chiaro che

r^{'} (X) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{X^{2}}{2} - X)} (X - 1) {\begin{cases} < 0, & X < 1 \\ > 0, & X > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$ .

Quindi, per un particolare è un test MP di rispetto a $c$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & x > c \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

H_{o}

$H_o$

H_{1}

$H_1$ delle sue dimensioni.

Puoi provare

1. contro $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. contro $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. contro $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Di lemma di Neyman Pearson.

Normalmente il test di razione di verosimiglianza (LRT) non è un buon metodo per alternative composite nulle e composite che appartengono a diverse famiglie di distribuzioni. LRT è particolarmente utile quando $\mathbb{\theta}$ è un multiparametro e desideriamo testare l'ipotesi relativa a uno dei parametri .

Questo è tutto da parte mia.

— ANNO DOMINI
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Q2. Il rapporto di probabilità è una statistica test abbastanza ragionevole ma (a) il Lemma di Neyman-Pearson non si applica alle ipotesi composite, quindi l'LRT non sarà necessariamente il più potente; & (b) il Teorema di Wilks si applica solo alle ipotesi nidificate, quindi a meno che una famiglia non sia un caso speciale dell'altra (ad esempio esponenziale / Weibull, Poisson / binomiale negativo) non si conosce la distribuzione del rapporto di verosimiglianza sotto il valore nullo, anche asintoticamente.

— Scortchi - Ripristina Monica
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"... non conosci la distribuzione del rapporto di verosimiglianza sotto il nulla, neanche asintoticamente." Non è una preoccupazione così grande in un mondo in cui puoi codificare una simulazione sotto zero in meno di 20 righe di R.

— Ciano,

@Cyan: scrivere queste 20 righe potrebbe richiedere qualche riflessione. Ricorda che è un nullo composito, in generale non avremo pivot, e non penso che l'LR sarà necessariamente un pivot approssimativo. Suppongo che potresti studiare l'LR ...

— Scortchi - Reintegrare Monica

$\alpha$ $\phi$ $\phi$ $\alpha^\mathrm{th}$ $H_0$ $H_1$
L' articolo originale di Neyman & Pearson discute anche di ipotesi composite. In alcuni casi la risposta è semplice: se esiste una scelta di distribuzioni particolari in ogni famiglia il cui rapporto di probabilità è conservativo quando viene applicata l'intera famiglia. Questo è ciò che accade spesso, ad esempio, per ipotesi nidificate. È facile che ciò non accada, comunque; questo articolo di Cox discute cosa fare ulteriormente. Penso che un approccio più moderno qui sarebbe quello di affrontarlo in modo bayesiano, mettendo i priori sulle due famiglie.

— petrelharp
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Grande riferimento lì - il documento Cox.

— Scortchi - Ripristina Monica