Perché il controllo dell'FDR è meno rigoroso del controllo dell'FWER?

Ho letto che il controllo della FDR è meno rigoroso del controllo della FWER, come in Wikipedia :

Le procedure di controllo della FDR esercitano un controllo meno rigoroso sulla scoperta di falsi rispetto alle procedure di tasso di errore a livello familiare (FWER) (come la correzione Bonferroni). Ciò aumenta la potenza al costo di aumentare il tasso di errori di tipo I, vale a dire, rifiutando l'ipotesi nulla di nessun effetto quando dovrebbe essere accettato.

Ma mi chiedevo come si dimostra che sia vero matematicamente?

C'è qualche relazione tra FDR e FWER?

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— StackExchange per tutti
fonte

Hai letto il documento originale? È quasi tutto ciò che si può sperare in un documento statistico: un'unica idea fondamentale, una storia chiara e concisa da raccontare, un utile esempio e (brevi!) Prove accurate.

— cardinale il

In effetti, @cardinal ha perfettamente ragione sul fatto che la carta sia chiara come appare. Quindi, per quello che vale, nel caso in cui non si abbia accesso al documento, ecco una versione leggermente elaborata di come sostengono Benjamini – Hochberg:

FDR è il valore atteso della proporzione di falsi rifiuti a tutti i rifiuti . Ora, è, ovviamente, la somma di rigetti falsi e corretti; chiamare quest'ultimo . $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

In breve, (usando lettere maiuscole per variabili casuali e lettere minuscole per valori realizzati),

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

Uno prende se . $Q=0$ $R=0$

Ora, ci sono due possibilità: o tutti i null sono veri o solo sono veri. Nel primo caso, non possono esserci rigetti corretti, quindi . Pertanto, se vi sono rifiuti ( ), , altrimenti . Quindi, $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

Quindi, in questo caso, in modo che qualsiasi procedura che controlli banalmente controlla anche il e viceversa. $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

Nel secondo caso in cui , se (quindi se c'è almeno un falso rifiuto), ovviamente abbiamo (questa è una frazione con anche nel denominatore) che . Ciò implica che la funzione indicatrice che assume il valore 1 se v'è almeno un falso rifiuto, non sarà mai inferiore a , . Ora, aspettati da entrambi i lati della disuguaglianza, che per monotonia di $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$ lascia intatta la disuguaglianza,

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

Il valore atteso di una funzione indicatore essendo la probabilità dell'evento dell'indicatore, abbiamo , che è di nuovo il . $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

Così, quando abbiamo una procedura che controlli nel senso che , dobbiamo avere che . $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

Viceversa, avere il controllo ad alcuni può venire con un sostanzialmente più grande . Intuitivamente, accettare una frazione attesa diversa da zero di falsi rifiuti ( ) su un totale potenzialmente elevato di ipotesi verificate può comportare una probabilità molto elevata di almeno un falso rifiuto ( ). $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

$\FDR$

— Christoph Hanck
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(+1) Buona esposizione. Ovviamente, nel primo caso possiamo anche dire che il controllo FWER implica il controllo FDR (che è la questione in questione). Inoltre, può valere la pena sottolineare che questa proprietà non presenta ipotesi distributive (ad es. Indipendenza) sulle statistiche dei test, a differenza della procedura fornita nel documento originale per il controllo dell'FDR.

— cardinale il