Wald test per la regressione logistica

Per quanto ho capito, il test di Wald nel contesto della regressione logistica viene utilizzato per determinare se una determinata variabile predittiva è significativa o meno. Rifiuta che l'ipotesi nulla del coefficiente corrispondente sia zero.$X$

Il test consiste nel dividere il valore del coefficiente per errore standard .$\sigma$

Ciò di cui sono confuso è che è anche noto come Z-score e indica quanto è probabile che una data osservazione provenga dalla distribuzione normale (con zero medio).$X/\sigma$

Le stime dei coefficienti e delle intercettazioni nella regressione logistica (e di qualsiasi GLM) si trovano attraverso la stima della massima verosimiglianza (MLE). Queste stime sono indicate con un cappello sopra i parametri, qualcosa come . Il nostro parametro di interesse è denotato e di solito è 0 poiché vogliamo testare se il coefficiente differisce da 0 o meno. Dalla teoria asintotica di MLE, sappiamo che la differenza tra e sarà approssimativamente normalmente distribuita con la media 0 (i dettagli possono essere trovati in qualsiasi libro di statistiche matematiche come Tutte le statistiche di Larry Wasserman ) . Ricordiamo che gli errori standard non sono altro che θ0 θ θ$\hat{\theta}$$\theta_{0}$$\hat{\theta}$$\theta_{0}$deviazioni standard delle statistiche (Sokal e Rohlf scrivono nel loro libro Biometria : "una statistica è una delle molte quantità statistiche calcolate o stimate", ad esempio la media, la mediana, la deviazione standard, il coefficiente di correlazione, il coefficiente di regressione, ...). Dividere una distribuzione normale con media 0 e deviazione standard per la sua deviazione standard produrrà la distribuzione normale standard con media 0 e deviazione standard 1. La statistica Wald è definita come (ad es. Wasserman (2006): All of Statistics , pagine 153, 214-215): W = ( β - β 0 )$\sigma$ o W2=(β-β0)

$$W=\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$ La seconda forma deriva dal fatto che il quadrato di una distribuzione normale standard è laχ21-distribuzione con 1 grado di libertà (la somma di due al quadrato normale standard sarebbe unχ22-distribuzione con 2 gradi di libertà e così via). $$W^{2}=\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})^2}{\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\beta})}\sim \chi^{2}_{1}$$ $\chi^{2}_{1}$$\chi^{2}_{2}$

$\beta_{0}=0$

$$W=\frac{\hat{\beta}}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$

---

$z$$t$

$z$$t$$z$$p$$t$$z$$\operatorname{Var}[\hat{\beta}|X]=\sigma^2(X'X)^{-1}$$\sigma^2$$X$$\sigma^2$$\hat{\sigma}^{2}=s^2$$\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta_{j}})=\sqrt{s^2(X'X)_{jj}^{-1}}$$t$$t$

$Y\sim Bin(n, p)$$E(Y)=np$$\operatorname{Var}(Y)=np(1-p)$$\phi$$\phi=1$$\phi<1$$\phi>1$$z$$t$$p$-valori. In R, guarda questi due esempi:

Regressione logistica

mydata <- read.csv("http://www.ats.ucla.edu/stat/data/binary.csv")

mydata$rank <- factor(mydata$rank)

my.mod <- glm(admit ~ gre + gpa + rank, data = mydata, family = "binomial")

summary(my.mod)

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -3.989979   1.139951  -3.500 0.000465 ***
gre          0.002264   0.001094   2.070 0.038465 *  
gpa          0.804038   0.331819   2.423 0.015388 *  
rank2       -0.675443   0.316490  -2.134 0.032829 *  
rank3       -1.340204   0.345306  -3.881 0.000104 ***
rank4       -1.551464   0.417832  -3.713 0.000205 ***
   ---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

$z$

---

Regressione lineare normale (OLS)

summary(lm(Fertility~., data=swiss))

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      66.91518   10.70604   6.250 1.91e-07 ***
Agriculture      -0.17211    0.07030  -2.448  0.01873 *  
Examination      -0.25801    0.25388  -1.016  0.31546    
Education        -0.87094    0.18303  -4.758 2.43e-05 ***
Catholic          0.10412    0.03526   2.953  0.00519 ** 
Infant.Mortality  1.07705    0.38172   2.822  0.00734 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.165 on 41 degrees of freedom

$t$$z$$t$

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