Perché la probabilità è zero per un dato valore di una distribuzione normale?

Ho notato che nella distribuzione normale, la probabilità uguale a zero, mentre per la distribuzione di Poisson, non sarà uguale a zero quando è un numero intero non negativo. $P(x=c)$ $c$

La mia domanda è: la probabilità di una costante nella distribuzione normale è uguale a zero perché rappresenta l'area sotto una curva? O è solo una regola da memorizzare?

probability normal-distribution poisson-distribution

— Psycho 4 Physics
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distribuzione continua vs discreta

— Glen_b -Reinstate Monica

Molto strettamente correlati (domanda leggermente diversa, essenzialmente la stessa risposta): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

— whuber

Nulla che valga la pena di conoscere è mai solo una "regola da memorizzare".

— Matthew Drury,

Forse il seguente esperimento mentale ti aiuta a capire meglio perché la probabilità è zero in una distribuzione continua: Immagina di avere una ruota della fortuna . Normalmente, la ruota è suddivisa in diversi settori discreti, forse circa 20. Se tutti i settori hanno la stessa area, si avrebbe una probabilità di per colpire un settore specifico (ad esempio il prezzo principale). La somma di tutte le probabilità è 1, perché . Più in generale: se ci sono settori distribuiti uniformemente sulla ruota, ogni settore ha una probabilità di $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ $1/m$ di essere colpito (probabilità uniformi). Ma cosa succede se decidiamo di suddividere la ruota in un milione di settori. Ora la probabilità di colpire un settore specifico (il premio principale) è estremamente ridotta: . Inoltre, si noti che il puntatore può teoricamente fermarsi su un numero infinito di posizioni della ruota. Se volessimo fare un premio separato per ogni possibile punto di sosta, dovremmo suddividere la ruota in un numero infinito di "settori" di uguale area (ma ognuno di questi avrebbe un'area di 0). Ma quale probabilità dovremmo assegnare a ciascuno di questi "settori"? Essa deve essere zero $1/10^{6}$ perché se le probabilità per ciascun "settore" fossero positive e uguali, la somma di infiniti numeri uguali positivi diverge, il che crea una contraddizione (la probabilità totale deve essere 1). Ecco perché possiamo solo assegnare una probabilità a un intervallo , a un'area reale sulla ruota.

Più tecnico: in una distribuzione continua (es. Uniforme continua , normale e altri ), la probabilità viene calcolata per integrazione, come area sotto la funzione di densità di probabilità (con ): Ma l'area di un intervallo di lunghezza 0 è 0. $f(x)$ $a\leq b$

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Vedi questo documento per l'analogia della ruota della fortuna.

La distribuzione di Poisson invece è una distribuzione di probabilità discreta. Una variabile casuale di Poisson può assumere solo valori discreti (ovvero il numero di figli per una famiglia non può essere 1,25). La probabilità che una famiglia abbia esattamente 1 figlio non è certamente zero ma è positiva. La somma di tutte le probabilità per tutti i valori deve essere 1. Altre famose distribuzioni discrete sono: binomiale , binomiale negativo , geometrico , ipergeometrico e molti altri .

— COOLSerdash
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Questo argomento fallisce in un punto cruciale: non è sempre vero che "la somma di un numero infinito di numeri positivi è infinita". La sequenza delle probabilità di Poisson è un controesempio! Puoi risolverlo con una qualifica adeguata, ad esempio sottolineando che la somma di infiniti numeri positivi , non importa quanto piccoli possano essere, differisce.

— whuber

@whuber Penso che sia quello che intendevo quando ho scritto la risposta ma non sono riuscito a formularla correttamente. Grazie per il testa a testa. Spero sia corretto ora.

— COOLSerdash,

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@whuber Ora sono confuso. È esattamente la formulazione che mi hai suggerito di aggiungere nel tuo primo commento: "[...] come sottolineare che la somma di infiniti numeri positivi, non importa quanto piccoli possano essere, differisce"

— COOLSerdash

@whuber Bene, ora è completamente chiaro. Ho aggiunto la qualifica alla mia risposta. Grazie ancora per averlo segnalato.

— COOLSerdash,

"Le probabilità di variabili casuali continue (X) sono definite come l'area sotto la curva del suo PDF. Pertanto, solo intervalli di valori possono avere una probabilità diversa da zero. La probabilità che una variabile casuale continua sia uguale a un valore è sempre zero." pagina di riferimento: http://support.minitab.com/en-us/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distributions/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -probability-distribuzioni /

— Rui HUANG
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