Bias degli stimatori della massima verosimiglianza per la regressione logistica

Vorrei capire un paio di fatti sugli stimatori della massima verosimiglianza (MLE) per le regressioni logistiche.

È vero che, in generale, l'MLE per la regressione logistica è di parte? Direi di si". So, ad esempio, che la dimensione del campione è correlata alla distorsione asintotica degli MLE.

Conosci qualche esempio elementare di questo fenomeno?
Se l'MLE è di parte, è vero che la matrice di covarianza degli MLE è l'inverso dell'Hesse della funzione di massima verosimiglianza?

modifica : ho incontrato questa formula abbastanza spesso e senza alcuna prova; mi sembra una scelta abbastanza arbitraria.

— Avito
fonte

Considerare il modello di regressione logistica binaria semplice, con una variabile dipendente binaria e solo una costante ed un regressore binario . dove è il cdf logistico, . $T$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1) = Λ (α + β T_{i})

$\Pr(Y_i=1\mid T_i=1) = \Lambda (\alpha + \beta T_i)$

Λ

$\Lambda$

Λ (u) = {[1 + \exp {- u}]}^{- 1}

$\Lambda(u) = \left[1+\exp\{-u\}\right]^{-1}$

Nel modulo logit abbiamo

\ln (\frac{Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1)}{1 - Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1)}) = α + β T_{i}

$\ln \left(\frac{\Pr(Y_i=1\mid T_i=1)}{1-\Pr(Y_i=1\mid T_i=1)}\right) = \alpha + \beta T_i$

Hai un campione di taglia . Indica il numero di osservazioni in cui e quelle in cui e . Considera le seguenti probabilità condizionate stimate: $n$ $n_1$ $T_i=1$ $n_0$ $T_i=0$ $n_1+n_0=n$

\hat{Pr} (Y = 1 ∣ T = 1) \equiv {\hat{P}}_{1 | 1} = \frac{1}{n_{1}} \sum_{T_{i} = 1} y_{i}

$\hat \Pr(Y=1\mid T=1)\equiv \hat P_{1|1} = \frac 1{n_1}\sum_{T_i=1}y_i$

\hat{Pr} (Y = 1 ∣ T = 0) \equiv {\hat{P}}_{1 | 0} = \frac{1}{n_{0}} \sum_{T_{i} = 0} y_{i}

$\hat \Pr(Y=1\mid T=0)\equiv \hat P_{1|0} = \frac 1{n_0}\sum_{T_i=0}y_i$

Quindi questo modello di base fornisce soluzioni in forma chiusa per lo stimatore ML:

\hat{α} = \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}}), \hat{β} = \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 1}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 1}}) - \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}})

$\hat \alpha = \ln\left(\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right),\qquad \hat \beta = \ln\left(\frac{\hat P_{1|1}}{1-\hat P_{1|1}}\right)-\ln\left(\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right)$

BIAS

Sebbene e siano stimatori imparziali delle probabilità corrispondenti, gli MLE sono distorti, dal momento che la funzione logaritmica non lineare si mette in mezzo - immagina cosa succede a modelli più complicati , con un grado più elevato di non linearità. $\hat P_{1|1}$ $\hat P_{1|0}$

Ma asintoticamente, il pregiudizio svanisce poiché le stime di probabilità sono coerenti. Inserendo direttamente l' operatore all'interno del valore atteso e del logaritmo, abbiamo $\lim$

lim_{n \to \infty} E [\hat{α}] = E [\ln (lim_{n \to \infty} \frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}})] = E [\ln (\frac{P_{1 | 0}}{1 - P_{1 | 0}})] = α

$\lim_{n\rightarrow \infty}E[\hat \alpha] = E\left[\ln\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right)\right] = E\left[\ln\left(\frac{P_{1|0}}{1-P_{1|0}}\right)\right] =\alpha$

e allo stesso modo per . $\beta$

MATRICE DI VARIANCE-COVARIANCE DI MLE
Nel semplice caso sopra che fornisce espressioni in forma chiusa per lo stimatore, si potrebbe, almeno in linea di principio, procedere e derivare la sua esatta distribuzione del campione finito e quindi calcolare la sua matrice di varianza-covarianza del campione finito . Ma in generale, il MLE non ha una soluzione in forma chiusa. Quindi facciamo ricorso a una stima coerente della matrice di varianza-covarianza asintotica, che è effettivamente (il negativo di) l'inverso dell'Hessiana della funzione log-verosimiglianza del campione, valutata al MLE. E non esiste alcuna "scelta arbitraria" qui, ma risulta dalla teoria asintotica e dalle proprietà asintotiche dell'MLE (coerenza e normalità asintotica), che ci dice che, per , $\theta_0 = (\alpha, \beta)$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to_{d} N (0, - (E [H])^{- 1})

${\sqrt n}(\hat \theta-\theta_0)\rightarrow_d N\left(0, -(E[H])^{-1}\right)$

dove è l'Assia. Circa e per campioni (grandi) finiti, questo ci porta a $H$

Var (\hat{θ}) \approx - \frac{1}{n} (E [H])^{- 1} \approx - \frac{1}{n} {(\frac{1}{n} \hat{H})}^{- 1} = - {\hat{H}}^{- 1}

$\operatorname{Var}(\hat \theta) \approx -\frac 1n(E[H])^{-1}\approx -\frac 1n\left(\frac 1n\hat H\right)^{-1}=-\hat H^{-1}$

— Alecos Papadopoulos
fonte