Ipotesi nulla di equivalenza

Supponiamo che sono un semplice campione casuale da una distribuzione normale . $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

Sono interessato a fare il seguente test di ipotesi: per una data costante .

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

Stavo pensando di eseguire due test unilaterali (TOST) in modo analogo alla solita situazione di test di bioequivalenza, dove il valore null ed è invece, ma non so se questo abbia senso o sia corretto. $t$ $|\mu| \ge c$

La mia idea è di eseguire i test unilaterali e

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

e rifiuta l'ipotesi nulla globale se uno deivalori

è inferiore a un livello di significatività

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

Grazie in anticipo!

MODIFICARE:

Ci ho pensato un po 'e penso che l'approccio che ho proposto non abbia un livello di significatività . $\alpha$

Supponiamo che il valore reale di sia e sia noto. $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

La probabilità di rigettare il null nel primo test è dovese lo standard cdf della distribuzione normale eè un valore tale che.

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

$\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

$\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

$H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

$\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

$\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
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La modifica è sulla buona strada :-).

— whuber

Domanda molto interessante !!

Stai usando la conseguenza logica, cioè la condizione di coinvolgimento. Questa condizione di coinvolgimento costituisce la base della logica classica, garantisce l'inferenza o la deduzione di un risultato da una premessa.

Il ragionamento alla base della tua proposta è il seguente:

$H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

$H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

Tuttavia, questo ragionamento logico non è valido per i valori di p, ovvero i valori di p non rispettano la conseguenza logica. Ogni valore p viene costruito in base a un'ipotesi nulla specifica, pertanto i valori p per diverse ipotesi null vengono calcolati in base a metriche diverse. Per questo motivo i valori p non possono rispettare il ragionamento logico sullo spazio dei parametri (o lo spazio delle ipotesi nulle).

$n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota (2013) propone una nuova misura di evidenza per testare ipotesi null generali (ipotesi null composte o semplici) che rispettino le conseguenze logiche. Questa misura è chiamata valore s nel documento. La procedura è relativamente semplice per il tuo esempio:

$\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
$\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
$\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$ -value è abbastanza piccolo, quindi puoi rifiutare il null. Altrimenti, non si dovrebbe rifiutare o accettare il null.

$\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ . Prova a disegnare un'immagine che rappresenti l'intervallo di confidenza e l'ipotesi nulla di interesse per comprendere meglio le conclusioni. Per maggiori informazioni, leggi l'articolo originale Patriota (2013).

$s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$

Riferimenti:

Patriota, AG (2013). Una misura classica di prova per ipotesi null generali, Fuzzy Sets and Systems, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). Valori P: cosa sono e cosa non sono, The American Statistician, 50, 203–206.

— Alexandre Patriota
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