Come posso calcolare


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Supponiamo che e siano funzione di densità e funzione di distribuzione della distribuzione normale standard.Φ ( )ϕ()Φ()

Come si può calcolare l'integrale:

Φ(wab)ϕ(w)dw

5
Va tutto bene. Un primo riferimento a un risultato più generale che include questo è Ellison (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); vedi Corollario 1 del Teorema 2.

Risposte:


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Una notazione più convenzionale è

y(μ,σ)=Φ(X-μσ)φ(X)dX=Φ(-μ1+σ2).

Questo si può trovare differenziando l'integrale rispetto a e , producendo integrali elementari che possono essere espressi in forma chiusa:μσ

yμ(μ,σ)=-12πσ2+1e-12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e-12μ2σ2+1.

Questo sistema può essere integrato, a partire dalla condizione iniziale = = , per ottenere la soluzione data (che può essere facilmente verificata mediante differenziazione).Phi; ( x ) φ ( x ) D x 1 / 2y(0,1)Φ(X)φ(X)dX1/2


4
Ho ricontrollato la risposta tramite integrazione numerica e contornando i rapporti per , : l'accordo era di undici cifre significative in questo intervallo. 0 < σ 2-2μ20<σ2
whuber

wow, soluzione intelligente.
Cam.Davidson.Pilon

2
Penso che questo possa essere fatto quasi per ispezione. Il primo termine sotto l'integrale è una variabile casuale uniforme [0,1]. Poiché il normale pdf è simmetrico, l'integrale dovrebbe essere12
soakley

1
@soakley Il tuo approccio funziona per , ma non è chiaro come si applicherebbe ad altri argomenti di . yy(0,1)y
whuber

1
@whuber Ci scusiamo per non aver capito, ma una volta che abbiamo le due forme chiuse per la derivata e la condizione iniziale, come possiamo passare da lì alla soluzione finale? In altre parole, che cosa hai fatto con le espressioni in forma chiusa per i derivati ​​e la condizione iniziale?
user106860

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Sia e variabili variabili casuali normali indipendenti con e una variabile casuale normale standard. Quindi,Quindi, usando la legge della probabilità totale, otteniamo che Ora, può essere espresso in termini di notando che , e così otteniamo Y X N ( a , b 2 ) Y P { X Y Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aXYX~N(un',B2)Y

P{XY|Y=w}=P{Xw}=Φ(w-un'B).
P{XY}=-P{XY|Y=w}φ(w)dw=-Φ(w-un'B)φ(w)dw.
P{XY}=P{X-Y0}Φ()X-Y~N(un',B2+1)
-Φ(w-un'B)φ(w)dw=Φ(-un'B2+1)
che è lo stesso del risultato nella risposta di whuber.

2

Ecco un'altra soluzione: Definiamo che possiamo valutare per ottenere la nostra espressione desiderata. Conosciamo almeno un valore di funzione di , ad es. causa della simmetria. Portiamo il derivato wrt a e completa il quadrato

io(γ)=-Φ(ξX+γ)N(X|0,σ2)dX,
γ=-ξμio(γ)io(0)=0γ
diodγ=-N((ξX+γ)|0,1)N(X|0,σ2)dX=-12πexp(-12(ξX+γ)2)12πσ2exp(-X22σ2)dX.
(ξX+γ)2+X2σ2=(ξ2+σ-2)=un'X2+-2γξ=BX+γ2=c=un'(X-B2un')2+(c-B24un')(c-B24un')=γ2-4γ2ξ24(ξ2+σ-2)=γ2(1-ξ2ξ2+σ-2)=γ2(11+ξ2σ2)
Pertanto,
diodγ=12πσexp(-12(c-B24un'))2πun'-un'2πexp(-12un'(X-B2un')2)dX=12πσexp(-12(c-B24un'))2πun'=12πσ2un'exp(-12(c-B24un'))=12π(1+σ2ξ2)exp(-12γ21+ξ2σ2)
e rendimenti di integrazione

io(γ)=-γ12π(1+σ2ξ2)exp(-12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

il che implica

-Φ(ξX)N(X|μ,σ2)dX=io(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

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