Condizioni per l'esistenza di una matrice di informazioni Fisher

Diversi libri di testo citano condizioni diverse per l'esistenza di una matrice di informazioni Fisher. Diverse condizioni di questo tipo sono elencate di seguito, ognuna delle quali appare in alcune, ma non in tutte, le definizioni di "matrice di informazioni Fisher".

1. Esiste un insieme standard e minimo di condizioni?
2. Delle 5 condizioni seguenti, che è possibile eliminare?
3. Se una delle condizioni può essere eliminata, perché pensi che sia stata inclusa in primo luogo?
4. Se una delle condizioni non può essere eliminata, significa che quei libri di testo che non lo hanno specificato hanno dato una definizione errata, o almeno incompleta?

1. Zacks, The Theory of Statistical Inference (1971), pag. 194.
   La matrice è definita positiva per tutto θ ∈ Θ . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, Theory of Statistics (1997, seconda stampa corr.), Definizione 2.78, p. 111
   L'insieme è uguale per tutti θ . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov, Mathematical Statistics (1998). p. 147
   sono continuamente differenziabili θ i . $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Borovkov, Mathematical Statistics (1998). p. 147
   è continuo e invertibile. $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, Statistics and Econometric Models, Vol I (1995). Definizione (a), pagg. 81-82
   esiste $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

In confronto, ecco l'elenco completo delle condizioni in Lehman e Cassella. Theory of Point Stimation (1998). p. 124 :

1. è un intervallo aperto (finito, infinito o semi-infinito) $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

Ed ecco la lista completa delle condizioni in Barra, Notions fondamentales de statistique matematique (1971). Definizione 1, pag. 35 :

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Non ho accesso a tutti i riferimenti, ma vorrei sottolineare alcune osservazioni su alcuni dei tuoi punti:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• È difficile stabilire condizioni generali per l'esistenza del FIM senza scartare alcuni modelli per i quali esiste effettivamente il FIM. Ad esempio, la condizione di differenziabilità non è una condizione necessaria per l'esistenza del FIM. Un esempio di ciò è il doppio modello esponenziale o di Laplace. Il FIM corrispondente è ben definito, ma la densità non è doppiamente differenziabile in questa modalità. Alcuni altri modelli che sono doppiamente differenziabili hanno un FIM mal comportato e richiedono alcune condizioni aggiuntive (vedi questo documento ).

È possibile trovare condizioni sufficienti molto generali, ma potrebbero essere troppo rigide. Le condizioni necessarie per l'esistenza del FIM non sono state completamente studiate. Quindi, la risposta alla tua prima domanda potrebbe non essere semplice.