Minimi quadrati generalizzati: dai coefficienti di regressione ai coefficienti di correlazione?

Per i minimi quadrati con un predittore:

$y = \beta x + \epsilon$

Se ed y sono standardizzati prima di montare (cioè ~ N ( 0 , 1 ) ), allora:$x$$y$$\sim N(0,1)$

• è uguale al coefficiente di correlazione di Pearson, r .$\beta$$r$
• è lo stesso nella regressione riflessa: x = β y + $\beta$$x = \beta y + \epsilon$

Per i minimi quadrati generalizzati (GLS), vale lo stesso? Vale a dire se standardizzo i miei dati, posso ottenere coefficienti di correlazione direttamente dai coefficienti di regressione?

Dalla sperimentazione con i dati, il GLS riflesso porta a diversi coefficienti e inoltre non sono sicuro di credere che i coefficienti di regressione si adattino ai miei valori previsti per la correlazione. So che le persone citano i coefficienti di correlazione GLS, quindi mi chiedo come arrivano a loro e quindi cosa significano veramente?$\beta$

La risposta è sì, i coefficienti di regressione lineare sono le correlazioni dei predittori con la risposta, ma solo se si utilizza il sistema di coordinate corretto .

$x_1, x_2, \ldots, x_n$$y$$x_i$$y$$x_i^t y$

$$\beta = (X^t X)^{-1} X^t y$$

$X^{t} X = I$

$$\beta = X^t y$$

$\tilde{x}_i$$\tilde{X}^t \tilde{X} = I$

Quindi, nel complesso, la risposta alla tua domanda è sì, ma solo quando i predittori sono essi stessi non correlati . Altrimenti, l'espressione

$$X^t X \beta = X^t y$$

mostra che i beta devono essere mescolati con le correlazioni tra i predittori stessi per recuperare le correlazioni predittore-risposta.

$x$

$$x_0^t x = \sum_i x_{i} = 0$$

$x_0$$X$$X^t X = I$