Domanda sulla ponderazione della varianza inversa

Supponiamo di voler fare l'inferenza su una realizzazione non osservata di una variabile casuale , che è distribuita normalmente con media e varianza . Supponiamo che ci sia un'altra variabile casuale (la cui realizzazione non osservata chiameremo allo stesso modo ) che è normalmente distribuita con media e varianza . Lasciate sia la covarianza di e . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Supponiamo ora di osservare un segnale su , dove e un segnale su , dove . Supponiamo che e siano indipendenti. $x$

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

Qual è la distribuzione di alla condizione che e ? $x$ $a$ $b$

Quello che so finora: utilizzando la ponderazione della varianza inversa, e

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Dal momento che ed sono disegnati congiuntamente, dovrebbe portare alcune informazioni su . Oltre a rendermene conto, sono bloccato. Qualsiasi aiuto è apprezzato! $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis

— bad_at_math
fonte

Questo è esattamente come i primi passi sulla derivazione di un filtro Kalman. Potresti guardare la derivazione e pensare al guadagno di Kalman per l'aggiornamento della stima della covarianza statale. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

Grazie per la risposta! Ho letto il documento nel tuo link, ma non vedo la connessione con il filtro Kalman. Qualche possibilità che potresti elaborare? Apprezzo l'aiuto!

— bad_at_math il

@EngrStudent Se l'OP non ha familiarità con il filtro Kalman, non vedo come sarà di grande aiuto. Forse potresti invece spiegare come affrontare il problema senza invocare nessuno dei dettagli (o il gergo) coinvolti con il KF, anche se forse facendo uso della tua comprensione di esso per guidare una risposta sui dettagli qui.

— Glen_b

Trascritto su math.SE qui

— Glen_b -Reinstate Monica il

$x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

$x$ $a$ $b$

— a.arfe
fonte