Quando è appropriata la trasformazione z di Fisher?

Voglio testare una correlazione del campione $r$ per significatività, usando i valori p, cioè

$H_0: \rho = 0, \; H_1: \rho \neq 0.$

Ho capito che posso usare la trasformata z di Fisher per calcolare questo

$z_{obs}= \displaystyle\frac{\sqrt{n-3}}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{1+r}{1-r}\right)$

e trovare il valore p di

$p = 2P\left(Z>z_{obs}\right)$

utilizzando la distribuzione normale standard.

La mia domanda è: quanto grande dovrebbe essere $n$ affinché questa sia una trasformazione appropriata? Ovviamente, $n$ deve essere maggiore di 3. Il mio libro di testo non menziona alcuna restrizione, ma nella diapositiva 29 di questa presentazione si dice che $n$ deve essere maggiore di 10. Per i dati che prenderò in considerazione, avrò qualcosa come $5 \leq n \leq 10$ .

Per domande come queste vorrei semplicemente eseguire una simulazione e vedere se i valori si comportano come mi aspetto. Il valore p è la probabilità di estrarre casualmente un campione che devia almeno tanto dall'ipotesi nulla quanto i dati osservati se l'ipotesi nulla è vera. Quindi se avessimo molti di questi campioni e uno di loro avesse un valore p di 0,04, allora ci aspetteremmo che il 4% di quei campioni abbia un valore inferiore a 0,04. Lo stesso vale per tutti gli altri possibili valori p .$p$$p$$p$$p$

Di seguito è una simulazione in Stata. I grafici controllano se i valori misurano ciò che dovrebbero misurare, cioè mostrano quanto la percentuale di campioni con valori p è inferiore alla p nominale$p$$p$$p$ discosta dal valore nominale . Come puoi vedere, questo test è alquanto problematico con un numero così piccolo di osservazioni. Che sia troppo problematico per la tua ricerca è il tuo giudizio.$p$

clear all
set more off

program define sim, rclass
    tempname z se
    foreach i of numlist 5/10 20(10)50 {
        drop _all
        set obs `i'
        gen x = rnormal()
        gen y = rnormal()
        corr x y 
        scalar `z'  = atanh(r(rho))
        scalar `se' = 1/sqrt(r(N)-3)
        return scalar p`i' = 2*normal(-abs(`z'/`se'))
    }
end

simulate p5 =r(p5)  p6 =r(p6)  p7  =r(p7)     ///
         p8 =r(p8)  p9 =r(p9)  p10 =r(p10)    ///
         p20=r(p20) p30=r(p30) p40 =r(p40)    ///
         p50=r(p50), reps(200000) nodots: sim 

simpplot p5 p6 p7 p8 p9 p10, name(small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

simpplot p20 p30 p40 p50 , name(less_small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

FWIW vedo la raccomandazione in Myers & Well (progetto di ricerca e analisi statistiche, seconda edizione, 2003, p. 492). La nota a piè di pagina afferma:$N\ge 10$

A rigor di termini, la trasformazione è distorta da una quantità r / ( 2 ( N - 1 ) ) : vedi Pearson e Hartley (1954, p. 29). Questo pregiudizio sarà generalmente trascurabile a meno che N sia piccolo e ρ sia grande, e lo ignoriamo qui.$Z$$r/(2(N-1))$$N$$\rho$

$z$$H_0: \rho=0$$\rho$$r$$z$$t$ approssimazione .

$H_0: \rho = \rho_0 \not = 0$$\rho_0$$n$$n$$\alpha$

Il punto di Nick è giusto: le approssimazioni e le raccomandazioni operano sempre in un'area grigia.

$n\geq (t_{\alpha/2} s/\epsilon)^2$$t$$s$$n \geq (1.96 s/\epsilon)^2$