Intervallo di confidenza per il prodotto di due parametri

Supponiamo di avere due parametri, e . Abbiamo anche due stimatori di massima verosimiglianza e e due intervalli di confidenza per questi parametri. C'è un modo per costruire un intervallo di confidenza per ? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— ospite
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È possibile utilizzare il metodo Delta per calcolare l'errore standard di . Il metodo delta afferma che un'approssimazione della varianza di una funzione è data da: L'approssimazione delle aspettative di è invece data da: Quindi l'aspettativa è semplicemente la funzione. La tua funzione è: . L'aspettativa di sarebbe semplicemente: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$

. Per la varianza, abbiamo bisogno delle derivate parziali di :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Usando la funzione per la varianza sopra, otteniamo:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ L'errore standard sarebbe quindi semplicemente la radice sqare dell'espressione precedente. Dopo aver riscontrato l'errore standard, è semplice calcolare un intervallo di confidenza del 95% per :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Per confermare l'errore standard di , hai bisogno della varianza di e che di solito puoi ottenere dalla matrice varianza-covarianza che sarebbe una matrice 2x2 nel tuo caso perché hai due stime. Gli elementi diagonali nella matrice varianza-covarianza sono le varianze di e mentre gli elementi off-diagonali sono la covarianza di e (la matrice è simmetrica). Come menziona @gung nei commenti, la matrice varianza-covarianza può essere estratta dalla maggior parte dei software statistici. A volte, gli algoritmi di stima forniscono il $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Matrice dell'Assia (non entrerò nei dettagli qui), e la matrice della varianza-covarianza può essere stimata dall'inverso dell'Assia negativa (ma solo se hai massimizzato la probabilità di log !; vedi questo post ). Ancora una volta, consulta la documentazione del tuo software statistico e / o del web su come estrarre l'Assia e su come calcolare l'inverso di una matrice.

In alternativa, puoi ottenere le varianze di e dagli intervalli di confidenza nel modo seguente (questo è valido per un IC al 95%): . Per un -CI, l'errore standard stimato è: , dove è il quantile della distribuzione normale standard (per , ). Quindi, $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . Lo stesso vale per la varianza di . Dobbiamo covarianza anche di e (vedere il paragrafo sopra). Se e sono indipendenti, la covarianza è zero e possiamo eliminare il termine. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Questo documento potrebbe fornire ulteriori informazioni.

— COOLSerdash
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+1. Le varianze dei parametri e la loro covarianza possono essere trovate esaminando la matrice varianza-covarianza di , che la maggior parte dei software statistici può fornire. Ad esempio, in R, è ? Vcov ; e in SAS, viene aggiunto come opzione all'istruzione modello in PROC REG .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Ripristina Monica

@gung Su un punto di pedanteria potrebbe valere la pena sottolineare (perché so che confonde alcune persone) che è davvero la matrice varianza-covarianza di piuttosto che (e in realtà non è nemmeno così , perché la deviazione standard deve essere stimata dal campione, quindi è davvero la matrice di varianza-covarianza stimata ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish,

@Silverfish, debitamente castigato. La prossima volta dirò "la matrice varianza-covarianza stimata di ".

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Ripristina Monica

Potresti provare a costruire una funzione di probabilità del profilo! e costruire l'intervallo di confidenza da quello.

— kjetil b halvorsen,

Non è dal momento che è un parametro?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

Ho trovato un'equazione diversa per il calcolo della varianza del prodotto.

Se xey sono distribuiti indipendentemente, la varianza del prodotto è relativamente semplice: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Questi risultati si generalizzano anche ai casi che coinvolgono tre o più variabili (Goodman 1960). Fonte: Regulating Pesticides (1980), appendice F

Coolserdash: l'ultimo componente V (x) * V (y) manca nella tua equazione. Il libro di riferimento (Regulatory Pesticides) è sbagliato?

Inoltre, entrambe le equazioni potrebbero non essere perfette. " ... mostriamo che la distribuzione del prodotto di tre variabili normali indipendenti non è normale ." ( fonte ). Mi aspetterei qualche inclinazione positiva anche nel prodotto di due variabili normalmente distribuite.

— Marek Čierny
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La lunghezza di CI / 2 / 1.96 = se, ovvero l'errore standard di A o B
se ^ 2 = var, ovvero la varianza della stima A o B
Utilizzare A o B stimati come mezzo di A o B, ovvero E (A) o E (B)
Segui questa pagina http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html per ottenere var (A * B), ovvero var (C)
La radice quadrata di var (C) è la se di C
(C - 1,96 * se (C), C + 1,96 * se (C)) è l'IC al 95% di C

Nota che se A e B sono correlati, devi considerare anche la loro covarianza.

— Caffè ghiacciato
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