Qual è la somma delle variate quadrate?

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Lascia che sia tratto da una distribuzione t di Student con gradi di libertà, per dimensioni moderate (diciamo meno di 100). Definisci è distribuito quasi come un chi-quadrato con gradi di libertà? Esiste qualcosa come il Teorema del limite centrale per la somma delle variabili casuali al quadrato? $t_i$ $n$ $n$

T = \sum_{1 \leq i \leq k} t_{i}^{2}

$T = \sum_{1\le i \le k} t_i^2$

T

$T$

k

$k$

chi-squared central-limit-theorem t-distribution

— shabbychef
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@suncoolsu: dice "quasi" ...

— shabbychef,

Mie scuse. non l'ho visto.

— suncoolsu,

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Rispondere alla prima domanda.

Potremmo iniziare dal fatto notato da mpiktas, che . E poi prova un passaggio più semplice all'inizio: cerca la distribuzione di una somma di due variabili casuali distribuite da . Ciò potrebbe essere fatto calcolando la convoluzione di due variabili casuali o calcolando il prodotto delle loro funzioni caratteristiche. $t^2 \sim F(1, n)$ $F(1,n)$

L' articolo di PCB Phillips mostra che la mia prima ipotesi su "funzioni ipergeometriche [confluenti] coinvolte" era davvero vera. Significa che la soluzione non sarà banale e la forza bruta è complicata, ma condizione necessaria per rispondere alla tua domanda. Quindi, poiché è fisso e si sommano le distribuzioni t, non si può dire con certezza quale sarà il risultato finale. A meno che qualcuno non abbia una buona abilità giocando con prodotti di confluenti funzioni ipergeometriche. $n$

— Dmitrij Celov
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+1 per il collegamento, non sapeva che la funzione caratteristica della distribuzione F era così complicata.

— mpiktas,

14

Non è nemmeno un'approssimazione stretta. Per piccolo , l'attesa di uguale a mentre l'attesa di uguale a . Quando è piccolo (meno di 10, diciamo), gli istogrammi di e di non hanno nemmeno la stessa forma, indicando che lo spostamento e il riscatto di non lo faranno ancora opera. $n$ $T$ $\frac{k n}{n-2}$ $\chi^2(k)$ $k$ $k$ $\log(T)$ $\log(\chi^2(k))$ $T$

Intuitivamente, per piccoli gradi di libertà, la di Student ha la coda pesante. La quadratura enfatizza questa pesantezza. Le somme quindi saranno più distorte - di solito molto più inclinate - delle somme di normali quadrate (la distribuzione ). Calcoli e simulazioni lo confermano. $t$ $\chi^2$

Illustrazione (come richiesto)

testo alternativo

Ogni istogramma raffigura una simulazione indipendente di 100.000 prove con i gradi di libertà ( ) e le somme ( ) specificati, standardizzati come descritto da @mpiktas. Il valore di nella riga inferiore approssima il caso . Quindi puoi confrontare con scansionando ogni colonna. $n$ $k$ $n=9999$ $\chi^2$ $T$ $\chi^2$

Si noti che la standardizzazione non è possibile per perché non esistono nemmeno i momenti appropriati. La mancanza di stabilità della forma (durante la scansione da sinistra a destra su qualsiasi riga o dall'alto verso il basso su qualsiasi colonna) è ancora più marcata per . $n \lt 5$ $n \le 4$

— whuber
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Ne avevo paura, ma pensavo che la somma avrebbe portato un po 'le code.

— Shabbychef,

Ho anche pensato di produrre una sorta di esperimenti di Monte Carlo, cercando di vedere per quale e l'approssimazione potrebbe essere abbastanza vicina a , probabilmente cui abbiamo bisogno qui. Ma per i piccoli e soprattutto sarà davvero molto pesante. Potresti aggiungere qui questi due istogrammi, solo per le persone pigre come me?

n

$n$

k

$k$

χ^{2} (k)

$\chi^2(k)$

k (n)

$k(n)$

k

$k$

n

$n$

— Dmitrij Celov,

@Dmitrij Le simulazioni sono veloci (ci vuole più tempo per disegnare gli istogrammi), quindi ne ho aggiunti 12.

— whuber

+1 per la figura. Le illustrazioni sono sempre belle da vedere.

— Dmitrij Celov il

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Risponderò alla seconda domanda. Il teorema del limite centrale è per qualsiasi sequenza iid, quadrata o non quadrata. Quindi nel tuo caso se è sufficientemente grande abbiamo $k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

dove e sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione t di Student al quadrato con gradi di libertà. Si noti che è distribuito come distribuzione F con e gradi di libertà. Quindi possiamo prendere le formule per media e varianza dalla pagina di Wikipedia . Il risultato finale è quindi: $Et_1^2$ $Var(t_1^2)$ $n$ $t_1^2$ $1$ $n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$

— mpiktas
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1

T di Hotelling 2: (f - d + 1) / fd T ^ 2 ∼ F (d, f + 1 - d)

— DWin

1

@Vinci, non sono così sicuro che di Hotelling sia davvero applicabile qui. Almeno dalle formule dalla pagina di Wikipedia non è immediatamente chiaro che

T^{2}

$T^2$

T

$T$

T^{2}

$T^2$

F (1, n) + F (1, n)

$F(1,n)+F(1,n)$

Credo che si riduca alla tua situazione quando la matrice di varianza è diagonale. Gli elementi fuori diagonale da un campione dovrebbero essere vicini allo zero se i campioni provenivano da Normale, ma potrebbero non essere esattamente zero se da t. Tuttavia, hai chiesto qualcosa di approssimativo, quindi penso che la risposta sia probabilmente F in quella condizione.

— DWin

F (1, n)

$F(1,n)$

F

$F$