Perché la radice quadrata viene presa per il conteggio dei campioni "N" nella formula di deviazione standard?

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Sto cercando di capire un concetto basilare di deviazione standard.

Dalla formula $\sigma= \sqrt{ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} N }$

Non riesco a capire perché dovremmo dimezzare la popolazione "N", cioè perché vogliamo prendere $\sqrt{N}$ quando non abbiamo fatto ${N^2}$ ? Ciò non distorce la popolazione che stiamo prendendo in considerazione?

Non dovrebbe essere la formula essere $\sigma= \dfrac{ \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} } {N}$

standard-deviation

— Mahesh Subramaniya
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Stai cercando di trovare una deviazione "tipica" dalla media.

La varianza è "la distanza media quadrata dalla media".

La deviazione standard è la radice quadrata di quello.

Questo lo rende la deviazione quadrata radice-media dalla media.

Perché dovremmo usare la deviazione quadrata media? Cosa rende interessante la varianza? Tra l'altro, a causa di un fatto di base sulle varianze , che la varianza di una somma di variabili non correlate è la somma delle singole varianze. (Questo è trattato in una serie di domande, ad esempio qui su CrossValidated. Questa utile funzione non è condivisa, ad esempio, dalla media della deviazione assoluta.
Perché prendere la radice quadrata di quello? Perché allora è nelle stesse unità delle osservazioni originali. Misura un particolare tipo di "distanza tipica" dalla media (come detto, la distanza RMS) - ma a causa della proprietà di varianza sopra - quella che ha delle belle caratteristiche.

— Glen_b - Ripristina Monica
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La deviazione standard è la radice quadrata della varianza .

Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = \frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}}{N}

$\text{Var}(X)=\text{E}[(X-\mu)^2] = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}$

S.D. (X) = \sqrt{Var (X)} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

$\text{S.D.}(X)=\sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}}$

— gung - Ripristina Monica
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forse va detto che questa formula di varianza è vera solo per le divise discrete. altrimenti potrebbe confondere la distinzione tra varianza del campione e della popolazione

— Taylor

@ Taylor, non so cosa intendi. La formula per la varianza non è correlata alla distribuzione.

— gung - Ripristina Monica

la formula per la varianza (campione) non è correlata alla distribuzione ( en.wikipedia.org/wiki/Expected_value#Definition )

— Taylor

@ Taylor, non so ancora cosa intendi. La formula per la varianza non è correlata alla distribuzione. Per citare dalla pagina di Wikipedia, "La varianza di una variabile casuale, X, è il valore atteso della deviazione al quadrato dalla media di X ... . Questa definizione comprende variabili casuali generate da processi discreti, continui, nessuno dei due o misti. " La formula non vale solo per l'uniforme discreta.

Var (X) = E [(X - μ)^{2}]

$\operatorname{Var}( X ) = E⁡[(X − μ)^2]$

— gung - Ripristina Monica

Sì, esatto, se prendi , ma non è necessariamente uguale, per qualsiasi variabile casuale , . Per uno, il primo è una costante e il secondo è casuale. In realtà non è chiaro se la somma passi sul supporto di o sul numero di campioni. In quest'ultimo caso, è strano che tu conosca , cosa rara in pratica. Se il primo, allora sì, è vero solo per le divise discrete (perché è una somma) (perché i pesi sono tutti uniformi).

μ = E X

$\mu = EX$

E [(X - μ)^{2}]

$E[(X-\mu)^2]$

X

$X$

\frac{1}{N} \sum_{i} (x_{i} - μ)^{2}

$\frac{1}{N}\sum_i(x_i - \mu)^2$

X

$X$

μ

$\mu$

— Taylor,

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La prima cosa da capire è che la deviazione standard (std) è diversa dalla deviazione assoluta media . Questi due definiscono diverse proprietà matematiche sui dati.

A differenza della deviazione assoluta media, la deviazione standard (std) pesa di più per i valori che sono lontani dalla media, il che viene fatto quadrando i valori della differenza.

Ad esempio, per i seguenti quattro punti dati:

\begin{array}{ccc} D a t a (x) & | x - m e a n | & (x - m e a n)^{2} \\ 2 & 2 & 4 \\ - 2 & 2 & 4 \\ - 6 & 6 & 36 \\ 6 & 6 & 36 \\ \sum x = 0 & \sum (| x - m e a n |) = 16 & \sum (x - m e a n)^{2} = 80 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Data (x)& |x - mean| & (x-mean)^2 \\ \hline 2 & 2 & 4\\ \hline -2 &2 &4\\ \hline -6 &6 &36\\ \hline 6 &6 &36\\ \hline \sum x =0 & \sum (|x-mean|) = 16 & \sum (x-mean)^2 = 80 \end{array}$

deviazione assoluta media (aad) e $= 16/4 = 4.0$

Deviazione standard (std) = $\sqrt{80/4} = \sqrt 20 = 4.47$

Nei dati, ci sono due punti distanti 6 dalla media e due punti distanti 2 dalla media. Quindi, la deviazione di 4,47 ha più senso di 4.

Dato che l'osservazione totale è sempre , per il calcolo di std non ci stiamo immergendo per , invece dividiamo la varianza totale per e ne prendiamo la radice quadrata, per portarla alla stessa unità dei dati originali. $N$ $\sqrt N$ $N$

— aumpen
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@Mahesh Subramaniya - Questa è solo una svolta matematica . Quando abbiamo un valore originale come . Possiamo ottenere lo stesso valore usando queste due equazioni e . $a/b = (-)d$ ${a}^2\diagup{b}=c$ $\sqrt{c\diagup{b}}=d$

Ad esempio, basta farlo con = . Vogliamo solo valore non meno. ${-5}\diagup{2}$ $-2.5$

Ora, . E ${-5}^2\diagup{2}=12.5$ $\sqrt{12.5\diagup{2}}=2.5$

— Ellephy
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