Che cos'è un processo stazionario di secondo ordine?

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Mi chiedevo come fosse definito il suo "processo stazionario di secondo ordine" nell'Introduzione alle serie temporali e nelle previsioni di Brockwell e Davis :

La classe di modelli lineari di serie temporali, che include la classe di modelli a media mobile autoregressiva (ARMA), fornisce un quadro generale per lo studio dei processi stazionari. In effetti, ogni processo stazionario di secondo ordine è o un processo lineare o può essere trasformato in un processo lineare sottraendo un componente deterministico. Questo risultato è noto come decomposizione di Wold ed è discusso nella Sezione 2.6.

In Wikipedia ,

Il caso della stazionarietà di secondo ordine sorge quando i requisiti di stazionarietà rigorosa vengono applicati solo a coppie di variabili casuali delle serie temporali.

Ma penso che il libro abbia una definizione diversa da quella di Wikipedia, perché il libro usa l'abbreviazione di stazionarietà per la stazionarietà di senso ampio, mentre Wikipedia usa l'abbreviazione di statura per la stazionarietà rigorosa.

Grazie e saluti!

time-series

— Tim
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Questa è una buona spiegazione dell'esempio: stats.stackexchange.com/questions/1430/… Spero che questo aiuti, AO

— AOGSTA

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Ci può essere una certa confusione di termini qui a seconda che l'aggettivo seond-order sia considerato un processo stazionario o casuale (o entrambi!). Ad alcune persone,

$\{X_t \colon t \in \mathbb T\}$ $E[X_t^2]$ $t \in \mathbb T$ $E[X_t^2]$ $t$ da un segnale stocastico, e quindi tutti i segnali fisicamente osservabili sono modellati come processi di secondo ordine. Si noti che la stazionarietà non è stata menzionata affatto e questi processi del secondo ordine potrebbero o non potrebbero essere stazionari.
$2$ $\mathbb T$ $X_t$ $X_{t+\tau}$ $t, \tau \in \mathbb T)$ $\tau$ $t$ $2$ $E[X_t^2]$ $X_t$
$2$

OK, questa è la prospettiva da un diverso insieme di utenti della teoria dei processi casuali. Per maggiori dettagli, vedi, ad esempio, questa mia risposta su dsp.SE.

— Dilip Sarwate
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E [X_{t}^{2}]

$E[X_t^2]$

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Stazionario all'ordine 2 non dice nulla sui momenti delle variabili casuali, ma solo sulle distribuzioni, mentre la stazionarietà ad ampio senso riguarda tutti i momenti e non richiede alcuna proprietà speciale delle distribuzioni. La definizione più comunemente accettata di stazionarietà di senso largo include il requisito del secondo momento finito, ma se non ti piace, puoi scartare il requisito e provare a convincere gli altri ad accettare la tua definizione più ampia come definizione comunemente accettata.

— Dilip Sarwate,

Chiedo perché il commento di Metrics qui sotto non è d'accordo con te qui. Quindi la tua definizione di un processo WSS è un sottoinsieme di "processi casuali di ordine 2 che sono fissi per ordinare 2"?

— Eric,

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No, un processo di secondo ordine (noto anche come secondo momento finito) che è fisso per ordinare 2 (o più) è un processo WSS ma la stazionarietà per ordinare 2 non è necessaria affinché un processo di secondo momento finito sia un processo WSS. In altre parole, la mia definizione di processi WSS include processi stazionari per ordine 2 che hanno un secondo momento finito.

— Dilip Sarwate,

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Stazionario di secondo ordine è stazionario debole o stazionario di covarianza. Vedi il seguente estratto da Time Series Analysis, J. Hamilton (1994) p. 108

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— Metrica
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Grazie! La stazionarietà del secondo ordine è uguale alla stazionarietà ad ampio senso?

— Tim

Sì @Tim. Puoi verificarlo anche sul wiki .

— Metriche

Sorprendente ... Wiki ha definizioni separate per debole e secondo ordine ma non ci sono riferimenti per il secondo ordine stazionario.

— Metriche

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$(x_k,\dots,x_{k-l})$ $k$ $l)$

— aggetto
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